【題目】如圖1,地面BD上兩根等長(zhǎng)立柱AB,CD之間懸掛一根近似成拋物線y= x2﹣ x+3的繩子.
(1)求繩子最低點(diǎn)離地面的距離;
(2)因?qū)嶋H需要,在離AB為3米的位置處用一根立柱MN撐起繩子(如圖2),使左邊拋物線F1的最低點(diǎn)距MN為1米,離地面1.8米,求MN的長(zhǎng);
(3)將立柱MN的長(zhǎng)度提升為3米,通過(guò)調(diào)整MN的位置,使拋物線F2對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)始終為 ,設(shè)MN離AB的距離為m,拋物線F2的頂點(diǎn)離地面距離為k,當(dāng)2≤k≤2.5時(shí),求m的取值范圍.
【答案】
(1)
解:∵a= >0,
∴拋物線頂點(diǎn)為最低點(diǎn),
∵y= x2﹣ x+3= (x﹣4)2+ ,
∴繩子最低點(diǎn)離地面的距離為: m
(2)
解:由(1)可知,BD=8,
令x=0得y=3,
∴A(0,3),C(8,3),
由題意可得:拋物線F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(2,1.8),
設(shè)F1的解析式為:y=a(x﹣2)2+1.8,
將(0,3)代入得:4a+1.8=3,
解得:a=0.3,
∴拋物線F1為:y=0.3(x﹣2)2+1.8,
當(dāng)x=3時(shí),y=0.3×1+1.8=2.1,
∴MN的長(zhǎng)度為:2.1m
(3)
解:∵M(jìn)N=DC=3,
∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知拋物線F2的頂點(diǎn)在ND的垂直平分線上,
∴拋物線F2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:( m+4,k),
∴拋物線F2的解析式為:y= (x﹣ m﹣4)2+k,
把C(8,3)代入得: (4﹣ m﹣4)2+k=3,
解得:k=﹣ (4﹣ m)2+3,
∴k=﹣ (m﹣8)2+3,
∴k是關(guān)于m的二次函數(shù),
又∵由已知m<8,在對(duì)稱軸的左側(cè),
∴k隨m的增大而增大,
∴當(dāng)k=2時(shí),﹣ (m﹣8)2+3=2,
解得:m1=4,m2=12(不符合題意,舍去),
當(dāng)k=2.5時(shí),﹣ (m﹣8)2+3=2.5,
解得:m18﹣2 4,m2=8+2 (不符合題意,舍去),
∴m的取值范圍是:4≤m≤8﹣2
【解析】(1)直接利用配方法求出二次函數(shù)最值得出答案;(2)利用頂點(diǎn)式求出拋物線F1的解析式,進(jìn)而得出x=3時(shí),y的值,進(jìn)而得出MN的長(zhǎng);(3)根據(jù)題意得出拋物線F2的解析式,得出k的值,進(jìn)而得出m的取值范圍.此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式等知識(shí),正確表示出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于C、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸,點(diǎn)P是x軸下方直線CD上的一點(diǎn),且△OCP與△OBC相似,求過(guò)點(diǎn)P的雙曲線解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,二次函數(shù)y= x2﹣2x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)B在第一象限內(nèi),點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),點(diǎn)M是一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作軸的垂線,垂足為N,且S△AMO:S四邊形AONB=1:48.
(1)求直線AB和直線BC的解析式;
(2)點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn),PD∥x軸,射線PD與拋物線交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,PF⊥BC于點(diǎn)F.當(dāng)PF與PE的乘積最大時(shí),在線段AB上找一點(diǎn)H(不與點(diǎn)A,點(diǎn)B重合),使GH+ BH的值最小,求點(diǎn)H的坐標(biāo)和GH+ BH的最小值;
(3)如圖2,直線AB上有一點(diǎn)K(3,4),將二次函數(shù)y= x2﹣2x+1沿直線BC平移,平移的距離是t(t≥0),平移后拋物線上點(diǎn)A,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′,點(diǎn)C′;當(dāng)△A′C′K′是直角三角形時(shí),求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)分別是軸上位于原點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn),點(diǎn)在第一象限,直線 交軸于點(diǎn),直線交軸于點(diǎn),.
(1)求;
(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)及的值;
(3)若,求直線的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M,N在同一個(gè)正比例函數(shù)圖象上的是( 。
A.M(2,﹣3),N(﹣4,6)
B.M(﹣2,3),N(4,6)
C.M(﹣2,﹣3),N(4,﹣6)
D.M(2,3),N(﹣4,6)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,點(diǎn)D,E分別是直角邊BC,AC的中點(diǎn),則DE的長(zhǎng)為( 。
A.1
B.2
C.
D.1+
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+(2m+1)=0有實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1 , x2 , 且2x1x2+x1+x2≥20,求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在學(xué)習(xí)完“利用三角函數(shù)測(cè)高”這節(jié)內(nèi)容之后,某興趣小組開展了測(cè)量學(xué)校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng),如圖,在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器,量出高度AB=1.5m,測(cè)得旗桿頂端D的仰角∠DBE=32°,量出測(cè)點(diǎn)A到旗桿底部C的水平距離AC=20m,根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù),求旗桿CD的高度.(參考數(shù)據(jù):sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F,使CF=CA,連接AF,∠ACF的平分線分別交AF,AB,BD于點(diǎn)E,N,M,連接EO.
(1)已知BD= ,求正方形ABCD的邊長(zhǎng);
(2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
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