Question

在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為

5

、

10

、

13

，求這個(gè)三角形的面積．小華同學(xué)在解答這道題時(shí)，先畫(huà)一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．這種方法叫做構(gòu)圖法．
（1）△ABC的面積為：

 

．
（2）若△DEF三邊的長(zhǎng)分別為

5

、

8

、

17

，請(qǐng)?jiān)趫D2的正方形網(wǎng)格中畫(huà)出相應(yīng)的△DEF，并利用構(gòu)圖法求出它的面積．
（3）如圖3，一個(gè)六邊形的花壇被分割成7個(gè)部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面積分別為13、10、17
①試說(shuō)明△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面積相等；
②請(qǐng)利用第2小題解題方法求六邊形花壇ABCDEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理

專題：

分析：（1）畫(huà)出格子后可以根據(jù)格子的面積很容易的算出三角形的面積，大矩形的面積減去矩形內(nèi)除去所求三角形的面積即可．
（2）構(gòu)造時(shí)�。�1，3）（2，2）（1，4）即可．
（3）過(guò)R作RH⊥PQ于H，設(shè)PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解無(wú)理方程求出h，從而求出△PQR的面積，再根據(jù)六邊形被分成的四個(gè)三角形的面積相等，總面積等于各部分的面積之和列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）根據(jù)格子的數(shù)可以知道面積為S=3×3-

1

2

×3×2-

1

2

×1×2-

1

2

×1×3=

7

2

；
故答案是：

7

2

；

（2）畫(huà)圖為
計(jì)算出正確結(jié)果S_△DEF=2×4-

1

2

（1×2+1×4+2×2）=3；

（3）①如圖3，過(guò)R作RH⊥PQ于H，設(shè)RH=h，
在Rt△PRH中，PH=

PR2-RH2

=

13-h2

，
在Rt△RQH中，QH=

RQ2-RH2

=

10-h2

，
∴PQ=

13-h2

+

10-h2

=

17

，
兩邊平方得，13-h²+10-h²+2

13-h2

•

10-h2

=17，
整理得

13-h2

•

10-h2

=2+h²，
兩邊平方得，（13-h²）（10-h²）=4+4h²+h⁴，
解得h=

11 17

34

，
∴S_△PQR=

1

2

PQ•RH=

11

2

，
同理，S_△BCR=S_△DEQ=S_△AFP=

11

2

，
∴△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面積相等；
②利用構(gòu)圖法計(jì)算出S_△PQR=

11

2

，
△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面積相等，
計(jì)算出六邊形花壇ABCDEF的面積為S_{正方形PRBA}+S_{正方形RQDC}+S_{正方形QPFE}+4S_△PQR=13+10+17+4×=62．

點(diǎn)評(píng)：本題是一種簡(jiǎn)單的求解三角形面積的算法，可以求出任意三角形的面積，方便省時(shí)．