Question

正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊DC，BC上的點，連接AE，DF且AE⊥DF于點P．
（1）求證：AE=DF；
（2）若PA=4，tan∠FDC=

1

2

，求正方形邊長AD的長．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明△ADE≌△DCF，得到AE=DF，即可解決問題．
（2）證明tan∠DAE=tan∠FDC=

1

2

，結(jié)合tan∠DAE=

DE

AD

，得到AD=2DE（設(shè)為2λ）；證明AE=

5

λ；由射影定理得AD²=AP•AE，即4λ²=4×

5

λ，解得λ=

5

即可解決問題．

解答：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC；而AE⊥DF，
∴∠DAE+∠AED=∠AED+∠FDC，
∴∠DAE=∠FDC；
在△ADE與△DCF中，

∠DAE=∠FDC AD=DC ∠ADE=∠DCF

，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴AE=DF．
（2）解：∵∠DAE=∠FDC，
∴tan∠DAE=tan∠FDC=

1

2

，而tan∠DAE=

DE

AD

，
∴AD=2DE（設(shè)為2λ）；
由勾股定理得：AE=

5

λ；
由射影定理得：AD²=AP•AE，
即4λ²=4×

5

λ，解得：λ=

5

，
∴AD=2

5

．

點評：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理、射影定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點．