【題目】綜合題
(1)【問題情境】
徐老師給愛好學(xué)習(xí)的小敏和小捷提出這樣一個(gè)問題:
如圖1,△ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分線.求證:AB+BD=AC

小敏的證明思路是:在AC上截取AE=AB,連接DE.(如圖2)…

小捷的證明思路是:延長CB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接AE. 可以證得:AE=DE(如圖3)…
請你任意選擇一種思路繼續(xù)完成下一步的證明.

(2)【變式探究】
“AD是∠BAC的平分線”改成“AD是BC邊上的高”,其它條件不變.(如圖4),AB+BD=AC成立嗎?若成立,請證明;若不成立,寫出你的正確結(jié)論,并說明理由.

(3)【遷移拓展】
△ABC中,∠B=2∠C. 求證:AC2=AB2+ABBC. (如圖5)

【答案】
(1)解:小敏的證明思路是:如圖2,在AC上截取AE=AB,連接DE.(如圖2)

∵AD是∠BAC的平分線,

∴∠BAD=∠EAD.

在△ABD和△AED中,

∴△ABD≌△AED(SAS),

∴BD=DE,∠ABD=∠AED

∵∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C,

∴∠EDC=∠C,

∴DE=EC,

即AB+BD=AC;

小捷的證明思路是:如圖3,延長CB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接AE.

∴∠E=∠BAE.

∵∠ABC=∠E+∠BAE,

∴∠ABC=2∠E.

∵∠ABC=2∠C,

∴∠E=∠C,

∴△AEC是等腰三角形.

∵AD是∠BAC的平分線,

∴∠BAD=∠DAC.

∵∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE

∴∠ADE=∠DAE,

∴EA=ED=AC,

∴AB+BD=AC


(2)解:AB+BD=AC不成立 正確結(jié)論:AB+BD=CD

理由:如圖4,在CD上截取DE=DB,連結(jié)AE,

∵AD⊥BC,

∴AD是BE的中垂線,

∴AE=AB,

∴∠B=∠AED.

∵∠AED=∠C+∠CAE,且∠B=2∠C,

∴∠C=∠CAE,

∴AE=EC.

即AB+BD=CD


(3)解:證明:如圖5,過點(diǎn)A作AD⊥BC于D.

由勾股定理得:AB2=BD2+AD2,AC2=CD2+AD2,

∴AC2﹣AB2=CD2﹣BD2=(CD+BD)(CD﹣BD)=BC(CD﹣BD)

∵AB+BD=CD,

∴CD﹣BD=AB,

∴AC2﹣AB2=BC(CD﹣BD)=BCAB,

即AC2=AB2+ABBC


【解析】【問題情境】小敏的證明思路是:在AC上截取AE=AB,由角平分線的性質(zhì)就可以得出∠DAB=∠DAE,再證明△ADB≌ADE就可以得出結(jié)論;小捷的證明思路是:延長CB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接AE.就可以得出∠E=∠C,就有AE=AC,進(jìn)而得出AE=ED即可;
【變式探究】CD上截取DE=DB,連結(jié)AE,由AD⊥BC就可以得出AE=AB,∠AED=∠B,由∠AED=∠C+∠CAE就有∠C=∠CAE得出AE=EC,進(jìn)而得出結(jié)論;
【遷移拓展】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D.由勾股定理得:AB2=BD2+AD2,AC2=CD2+AD2,AC2-AB2=CD2-BD2=BC(CD-BD),由(2)的結(jié)論就可以得出AC2-AB2=BC(CD-BD)=BCAB即可.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí),掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°,以及對(duì)勾股定理的概念的理解,了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2

練習(xí)冊系列答案
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A.17
B.27
C.24
D.34

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(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)在x軸上有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P (a,0)(其中a>2),過點(diǎn)P作x軸的垂線,分別交函數(shù)y=﹣ x+b和y=x的圖象于點(diǎn)C、D,且OB=2CD,求a的值.

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A. B. C. D.

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(2)求證:AD=BC.

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(2)延長CG交AB于點(diǎn)H,判斷點(diǎn)G是否在線段AB的垂直平分線上?并說明理由.
(3)過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D,請證明:CF=2DE.

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