Question

如圖，AB是⊙O直徑，OD⊥BC，垂足為F，且交⊙O于點(diǎn)E，若∠AEC=∠ODB．
（1）判斷直線BD和⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）如果∠AEC=30°，DF=，求⊙O的直徑．

Answer 1

解：（1）直線BD與圓O相切，理由為：
證明：∵∠AEC與∠ABC都對，
∴∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵OD⊥BC，
∴∠ABC+∠BOD=90°，
∴∠ODB+∠BOD=90°，即∠OBD=90°，
則直線BD與圓O相切；

（2）∵∠AEC=30°，
∴∠ABC=∠ODB=∠AEC=30°，
∵DF=，
∴在Rt△OBF中，OF=OB，
在Rt△OBD中，OB=OD=（DF+OF）=（+OB），
解得：OB=5，
則圓O的直徑為10．
分析：（1）直線BD與圓O相切，理由為：利用同弧所對的圓周角相等得到∠AEC=∠ABC，再由∠AEC=∠ODB，利用等量代換得到∠ABC=∠ODB，由OD與BC垂直，得到三角形OBF為直角三角形，可得出直角三角形中兩銳角互余，等量代換可得出三角形OBD中兩角互余，進(jìn)而確定出AB與BD垂直，可得出BD為圓O的切線；
（2）由∠AEC=30°，得到∠ABC=∠ODB=30°，在直角三角形OFB中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出OF等于OB的一半，在直角三角形OBD中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到OB為OD的一半，而OD=DF+OF，列出關(guān)于OB的方程，求出方程的解得到OB的長，即為圓的半徑，即可確定出圓的直徑．
點(diǎn)評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．