Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD＋BC=4cm，求：

（1）對角線AC的長；
（2）梯形ABCD的面積．

Answer 1

（1）4cm�。�2）8cm2

分析：（1）過點(diǎn)D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點(diǎn)，利用梯形的性質(zhì)平移對角線AC，由題意可知，兩條對角線與上、下底的和構(gòu)成等腰直角三角形，已知斜邊BE="AD+BC=4" ，可求直角邊DE的長，即AC長；
（2）當(dāng)四邊形對角線互相垂直時(shí)，四邊形的面積等于兩條對角線積的一半，由此進(jìn)行計(jì)算．
解答：
解：過點(diǎn)D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點(diǎn)．
（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，
∴四邊形ACED為平行四邊形，AC=DE，AD=CE，
∵AB=CD，
∴梯形ABCD為等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
又AC⊥BD，
∴∠BOC=90°
∵AC∥DE
∠BDE=90°，
∵BE=BC+CE=BC+AD=4，
根據(jù)勾股定理得：BD2+DE2=BE2，
即2BD2=（4），
解得BD=4，
即AC=4cm；
（2）∵AC⊥BD，AC=BD=4，
∴S =×AC×BD=8cm．
點(diǎn)評：本題考查了梯形常用作輔助線的方法：平移一條對角線，使梯形的兩條對角線，上、下底的和圍成三角形，再根據(jù)梯形其它條件解題．