【題目】如圖1,矩形OABC頂點B的坐標為(8,3),定點D的坐標為(12,0),動點P從點O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動,動點Q從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方向勻速運動,PQ兩點同時運動,相遇時停止.在運動過程中,以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR.設運動時間為t秒.
(1)當t= 時,△PQR的邊QR經過點B;
(2)設△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S,求S關于t的函數關系式;
(3)如圖2,過定點E(5,0)作EF⊥BC,垂足為F,當△PQR的頂點R落在矩形OABC的內部時,過點R作x軸、y軸的平行線,分別交EF、BC于點M、N,若∠MAN=45°,求t的值.
【答案】(1)1秒
(2)
(3)t的值為(8﹣2)
【解析】試題分析:(1)△PQR的邊QR經過點B時,△ABQ構成等腰直角三角形,則有AB=AQ,由此列方程求出t的值;
(2)在圖形運動的過程中,有三種情形,需要分類討論,避免漏解;
(3)由已知可得ABFE為正方形;其次通過旋轉,由三角形全等證明MN=EM+BN;設EM=m,BN=n,在Rt△FMN中,由勾股定理得到等式:mn+3(m+n)﹣9=0,由此等式列方程求出時間t的值.
試題解析:(1)△PQR的邊QR經過點B時,△ABQ構成等腰直角三角形,
∴AB=AQ,即3=4﹣t,
∴t=1.
即當t=1秒時,△PQR的邊QR經過點B.
(2)①當0≤t≤1時,如答圖1﹣1所示.
設PR交BC于點G,
過點P作PH⊥BC于點H,則CH=OP=2t,GH=PH=3.
S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC
=8×3﹣(2t+2t+3)×3
=﹣6t+;
②當1<t≤2時,如答圖1﹣2所示.
設PR交BC于點G,RQ交BC、AB于點S、T.
過點P作PH⊥BC于點H,則CH=OP=2t,GH=PH=3.
QD=t,則AQ=AT=4﹣t,
∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣(4﹣t)=t﹣1.
S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST
=8×3﹣(2t+2t+3)×3﹣(t﹣1)2
=﹣t2﹣5t+19;
③當2<t≤4時,如答圖1﹣3所示.
設RQ與AB交于點T,則AT=AQ=4﹣t.
PQ=12﹣3t,∴PR=RQ=(12﹣3t).
S=S△PQR﹣S△AQT
=PR2﹣AQ2
=(12﹣3t)2﹣(4﹣t)2
=t2﹣14t+28.
綜上所述,S關于t的函數關系式為:
.
(3)∵E(5,0),∴AE=AB=3,
∴四邊形ABFE是正方形.
如答圖2,將△AME繞點A順時針旋轉90°,得到△ABM′,其中AE與AB重合.
∵∠MAN=45°,∴∠EAM+∠NAB=45°,
∴∠BAM′+∠NAB=45°,
∴∠MAN=∠M′AN.
連接MN.在△MAN與△M′AN中,
∴△MAN≌△M′AN(SAS).
∴MN=M′N=M′B+BN
∴MN=EM+BN.
設EM=m,BN=n,則FM=3﹣m,FN=3﹣n.
在Rt△FMN中,由勾股定理得:FM2+FN2=MN2,即(3﹣m)2+(3﹣n)2=(m+n)2,
整理得:mn+3(m+n)﹣9=0. ①
延長MR交x軸于點S,則m=EM=RS=PQ=(12﹣3t),
∵QS=PQ=(12﹣3t),AQ=4﹣t,
∴n=BN=AS=QS﹣AQ=(12﹣3t)﹣(4﹣t)=﹣t+2.
∴m=3n,
代入①式,化簡得:n2+4n﹣3=0,
解得n=﹣2+或n=﹣2﹣(舍去)
∴2﹣t=﹣2+
解得:t=8﹣2.
∴若∠MAN=45°,則t的值為(8﹣2)秒.
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【題目】如圖,D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E,BC=6, .求BE的長.
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【題目】已知在平面直角坐標系xOy中(如圖),已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(2,2),對稱軸是直線x=1,頂點為B.
(1)求這條拋物線的表達式和點B的坐標;
(2)點M在對稱軸上,且位于頂點上方,設它的縱坐標為m,聯(lián)結AM,用含m的代數式表示∠AMB的余切值;
(3)將該拋物線向上或向下平移,使得新拋物線的頂點C在x軸上.原拋物線上一點P平移后的對應點為點Q,如果OP=OQ,求點Q的坐標.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AT是經過點A的切線,弦CD垂直AB于P點,Q為線段CP的中點,連接BQ并延長交切線AT于T點,連接OT.
(1)求證:BC∥OT;
(2)若⊙O直徑為10,CD=8,求AT的長;
(3)延長TO交直線CD于R,若⊙O直徑為10,CD=8,求TR的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知直線AB:yx+4交x軸于點A,交y軸于點B.直線CD:yx﹣1與直線AB相交于點M,交x軸于點C,交y軸于點D.
(1)直接寫出點B和點D的坐標;
(2)若點P是射線MD上的一個動點,設點P的橫坐標是x,△PBM的面積是S,求S與x之間的函數關系;
(3)當S=20時,平面直角坐標系內是否存在點E,使以點B、E、P、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點E的坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】已知,點A、B、O在數軸上對應的數為a、b、0,且滿足|a+8|+(b﹣12)2=0,點M、N分別從O、B出發(fā),同時向左勻速運動,M的速度為1個單位長度每秒,N的速度為3個單位長度每秒,A、B之間的距離定義為:AB=|a﹣b|.
(1)直接寫出OA= .OB= ;
(2)設運動的時間為t秒,當t為何值時,恰好有AN=2AM;
(3)若點P為線段AM的中點,Q為線段BN的中點,M、N在運動的過程中,PQ+MN的長度是否發(fā)生變化?若不變,請說明理由,若變化,當t為何值時,PQ+MN有最小值?最小值是多少?
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【題目】某企業(yè)投資112萬元引進一條農產品加工生產線,若不計維修、保養(yǎng)等費用,預計投產后每年可創(chuàng)利33萬元,該生產線投產后從第一年到第x年的維修、保養(yǎng)費用累計為y萬元,且y=ax 2 +bx,若第一年的維修保養(yǎng)費用為2萬元,第二年為4萬元.
(1)求y關于x的解析式;
(2)設x年后企業(yè)純利潤為z萬元(純利潤=創(chuàng)利-維修、保養(yǎng)費用),投產后這個企業(yè)在第幾年就能收回投資?
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