Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交與A（1，O），B（-4，0）兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)平行于y軸的直線x=m（-1-

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＜m＜0）與拋物線交于點(diǎn)M，與直線y=-x交于點(diǎn)N．連結(jié)BM、CM、NC、NB，問(wèn)是否存在m的值，使四邊形BNCM的面積S最大？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）A，B的坐標(biāo)代入拋物線y=-x²+bx+c確定解析式．
（2）A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)Q．
（3）四邊形BNCM的面積等于△MNB面積+△MNC的面積．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，O），B（-4，0）兩點(diǎn)，
將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，得到：-1+b+c=0，-16-4b+c=0
解得：b=-3，c=4
所以，該拋物線的解析式為：y=-x²-3x+4；

（2）存在
∵由前面的計(jì)算可以得到，C（0，4），且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

3

2

（1分）
∴由拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=-

3

2

對(duì)稱，
∴當(dāng)QC+QA最小時(shí)，△QAC的周長(zhǎng)就最小
∴當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC上時(shí)QC+QA最小，（1分）
此時(shí)：直線BC的解析式為y=x+4，
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y=

11

2

，
∴在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q（

3

2

，

11

2

），使得△QAC的周長(zhǎng)最�。�

（3）由題意，M（m，-m²-3m+4），N（m，-m）
∴線段MN=-m²-3m+4-（-m）=-m²-2m+4=-（m+1）²+5
∵S_{四邊形BNCM}=S_△BMN+S_△CMN=0.5MN×BO=2MN=-2（m+1）²+10
∴當(dāng)m=-1時(shí)（在-1-

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＜m＜0內(nèi)），四邊形BNCM的面積S最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，求直線上一點(diǎn)到直線外同旁兩點(diǎn)的距離之和最小的問(wèn)題是通過(guò)對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決．不規(guī)則幾何圖形的面積問(wèn)題往往是轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何圖形的面積解決．