Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點A（-3，0），點B（1，0），交y軸于點E（0，-3）．點C是點A關于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行．直線y=-x+m過點C，交y軸于D點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值；
（3）在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點E，A、B的坐標代入函數(shù)表達式，即可求出a、b、c的值；
（2）根據(jù)C點的坐標求出直線CD的解析式，然后結合圖形設出K點的坐標（t，0），表達出H點和G點的坐標，列出HG關于t的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；
（3）需要討論解決，①若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的邊，當點N在點M的左側(cè)時，MN=3-n；當點N在點M的右側(cè)時，MN=n-3，然后根據(jù)已知條件在求n的坐標就容易了
②若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的對角線時，由“點C與點A關于點B中心對稱”知：點M與點N關于點B中心對稱，取點F關于點B的對稱點P，則P點坐標為（-1，0），過P點作NP⊥x軸，交拋物線于點N，結合已知條件再求n的坐標就容易了．

解答：解：（1）設拋物線的函數(shù)表達式為y=a（x-1）（x+3）
∵拋物線交y軸于點E（0，-3），將該點坐標代入上式，得a=1
∴所求函數(shù)表達式為y=（x-1）（x+3），
即y=x²+2x-3；

（2）∵點C是點A關于點B的對稱點，點A坐標（-3，0），點B坐標（1，0），
∴點C坐標（5，0），
∴將點C坐標代入y=-x+m，得m=5，
∴直線CD的函數(shù)表達式為y=-x+5，
設K點的坐標為（t，0），則H點的坐標為（t，-t+5），G點的坐標為（t，t²+2t-3），
∵點K為線段AB上一動點，
∴-3≤t≤1，
∴HG=（-t+5）-（t²+2t-3）=-t²-3t+8=-（t+

3

2

）²+

41

4

，
∵-3＜-

3

2

＜1，
∴當t=-

3

2

時，線段HG的長度有最大值

41

4

；

（3）∵點F是線段BC的中點，點B（1，0），點C（5，0），
∴點F的坐標為（3，0），
∵直線l過點F且與y軸平行，
∴直線l的函數(shù)表達式為x=3，
∵點M在直線l上，點N在拋物線上，
∴設點M的坐標為（3，m），點N的坐標為（n，n²+2n-3），
∵點A（-3，0），點C（5，0），
∴AC=8，
分情況討論：
①若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的邊，則需MN∥AC，且MN=AC=8．
當點N在點M的左側(cè)時，MN=3-n，
∴3-n=8，解得n=-5，
∴N點的坐標為（-5，12），
當點N在點M的右側(cè)時，MN=n-3，
∴n-3=8，
解得n=11，
∴N點的坐標為（11，140），
②若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的對角線，由“點C與點A關于點B中心對稱”知：點M與點N關于點B中心對稱，取點F關于點B的對稱點P，則P點坐標為（-1，0）
過P點作NP⊥x軸，交拋物線于點N，
將x=-1代入y=x²+2x-3，得y=-4，
過點N作直線NM交直線l于點M，
在△BPN和△BFM中，
∠NBP=∠MBF，
BF=BP，
∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，
∴坐標（-1，-4）的點N符合條件，
∴當N的坐標為（-5，12），（11，140），（-1，-4）時，以點A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式函數(shù)圖象交點的求法等知識點、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點，主要考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．綜合性強，考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．