Question

一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5m，面積為1.5m²，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖1，乙設(shè)計(jì)方案如圖2．你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說(shuō)明理由．（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中可保留分?jǐn)?shù)）

Answer 1

分析：利用正方形的對(duì)邊平行．尋找相似三角形，由“相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比，等于對(duì)應(yīng)邊上高的比”的性質(zhì)，列出等量關(guān)系，計(jì)算正方形的邊長(zhǎng)x、y，比較大小，選擇合理方案．

解答：解：由AB=1.5m，S_△ABC=1.5m²，可得BC=2m，
由圖1，若設(shè)甲設(shè)計(jì)的正方形桌面邊長(zhǎng)為xm，
由DE∥AB，得Rt△CDE∽R(shí)t△CBA，
∴

x

AB

=

BC-x

BC

，即

x

1.5

=

2-x

2

，
∴3-1.5x=2x，x=

3

3.5

=

6

7

，
由圖2，過(guò)點(diǎn)B作Rt△ABC斜邊AC上的高，
BH交DE于P，交AC于H．
由AB=1.5m，BC=2m，
得AC=

AB2+BC2

=

1.52+22

=2.5（m），
由AC•BH=AB•BC可得，
BH=

AB•BC

AC

=

1.5×2

2.5

=1.2m，
設(shè)乙設(shè)計(jì)的桌面的邊長(zhǎng)為ym，
∵DE∥AC，
∴Rt△BDE∽R(shí)t△BAC，
∴

BP

BH

=

DE

AC

，
即

1.2-y

1.2

=

y

2.5

，解得y=

30

37

，
∵

6

7

=

30

35

＞

30

37

，
∵x²＞y²，
∴甲同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．