Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E．
（1）求證：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的長；
（3）求證：BE是⊙O的切線．

Answer 1

（1）證明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA（圓周角定理），
∴∠BCA=∠BAD．

（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圓周角定理），∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴=，即=，
解得：DE=．

（3）證明：連結OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵，
∴△ABO≌△DBO，
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切線．
分析：（1）根據BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出結論；
（2）判斷△BED∽△CBA，利用對應邊成比例的性質可求出DE的長度．
（3）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷OB⊥DE，可得出結論．
點評：本題考查了切線的判定及圓周角定理的知識，綜合考查的知識點較多，解答本題要求同學們熟練掌握一些定理的內容．