Question

已知拋物線y=x²-2x-m與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍；
（2）如果A（n-1，n²）、B（n+3，n²）是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，求n的值和拋物線的表達(dá)式；
（3）如果反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與（2）中的拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，且滿足4＜x₀＜5，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)與不等式（組）

專題：

分析：（1）拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則△=b²-4ac＞0，從而求出m的取值范圍．
（2）首先利用拋物線上兩個(gè)不同點(diǎn)A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的縱坐標(biāo)相同，得出點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，進(jìn)而求出m的值，即可得出二次函數(shù)解析式，即可得出n的值；
（3）根據(jù)當(dāng)4＜x₀＜5時(shí)，對(duì)于y=x²-2x-3，y隨著x的增大而增大，再利用x=4和5時(shí)y的值得出k的取值范圍．

解答：解：（1）根據(jù)題意得，△=4+4m＞0，
解得 m＞-1；

（2）由題意知，拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線上的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，
則

n-1+n+3

2

=1，
解得n=0，
∴點(diǎn)A（-1，0），
∴y=x²-2x-3；

（3）當(dāng)4＜x₀＜5時(shí)，
對(duì)于y=x²-2x-3，y隨著x的增大而增大，
對(duì)于y=

k

x

，y隨著x的增大而減小．
所以當(dāng)x₀=4時(shí)，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方，
得

k

4

＞4²-2×4-3
解得：k＞20．
當(dāng)x₀=5時(shí)，由二次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，
得5²-2×5-3＞

k

5

，
解得k＜60．
所以k的取值范圍為：20＜k＜60．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)問(wèn)題以及二次函數(shù)與不等式等知識(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征得出n的值是解題關(guān)鍵．