Question

已知：如圖1，正方形ABCD和正方形EBGF，點M是線段DF的中點．
（1）試說明線段ME與MC的關系．
（2）如圖2，若將上題中正方形EBGF繞點B順時針旋轉α度數(shù)（α＜90°），其他條件不變，上述結論還正確嗎？若正確，請你證明；若不正確，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：

分析：（1）延長EM、AD交于點H，連接EC，HC，由條件可以得出△EFM≌△HDM，就可以得出DH=EF，再由正方形的性質就可以得出△EBC≌△HDC，就可以得出△ECH為等腰直角三角形，從而得出結論；
（2）延長EM到H．使MH=ME，連接DH，EC，HC，由條件可以得出△EFM≌△HDM，就可以得出DH=EF，DH∥EF，由正方形EBGF繞點B順時針旋轉α度，就可以得出∠ABE=∠NDH=a，得出∠EBC=∠HDC，就可以得出△EBC≌△HDC，就可以得出△ECH為等腰直角三角形，從而得出結論．

解答：解：（1）ME=MC，ME⊥MC
理由：如圖1，延長EM、AD交于點H，連接EC，HC，
∵四邊形ABCD和四邊形EBGF都是正方形，
∴BC=CD，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=∠BEF=90°，EF=EB．
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HDM，∠FEM=∠DHM．∠BCD=∠CDH．
∴∠B=∠CDH．
∵點M是線段DF的中點，
∴FM=DM．
在△EFM和△HDM中

∠EFM=∠HDM ∠FEM=∠DHM FM=DM

，
∴△EFM≌△HDM（AAS），
∴EF=DH．EM=HM．
∴BE=DH．
在△EBC和△HDC中

BE=DH ∠B=∠CDH BC=DC

∴△EBC≌△HDC（SAS），
∴EC=HC，∠ECB=∠HCD．
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠HCD+∠ECD=90°，
∴∠ECH=90°．
∴∠MEC=45°．
∵EM=HM，EC=HC，
∴EM⊥CM，∠ECM=45°，
∴∠MEC=∠MCE
∴EM=MC；
（2）ME=MC，ME⊥MC
理由：延長EM到H．使MH=ME，連接DH，EC，HC，
∵點M是線段DF的中點，
∴FM=DM．
在△EFM和△HDM中

FM=DM ∠EMF=∠HMD EM=HM

，
∴△EFM≌△HDM（SAS），
∴EF=DH．
正方形EBGF繞點B順時針旋轉α度，
∴∠ABE=∠NDH=a．
∵四邊形ABCD和四邊形EBGF都是正方形，
∴BC=CD，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=∠BEF=90°，EF=EB．AD∥BC，
∴∠NDC=∠BCD=90°．EB=DH．
∴∠ABC=∠NDC，
∴∠ABC-∠ABF=∠NDC-NDH，
∴∠EBC=∠HDC
在△EBC和△HDC中

BE=DH ∠B=∠CDH BC=DC

∴△EBC≌△HDC（SAS），
∴EC=HC，∠ECB=∠HCD．
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠HCD+∠ECD=90°，
∴∠ECH=90°．
∴∠MEC=45°．
∵EM=HM，EC=HC，
∴EM⊥CM，∠ECM=45°，
∴∠MEC=∠MCE
∴EM=MC．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，旋轉的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，等腰直角三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．