Question

在△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜120°）得△A₁CB₁，A₁C交AB于E，A₁B₁分別交AB、CB于D、F，連結(jié)A₁A．
（1）當(dāng)α為多少度時，△AA₁E是等腰三角形；
（2）當(dāng)α=30°時，求DE的長．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠CAB=30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACA₁=α，CA=CA₁，于是利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計算得到∠CAA₁=∠CA₁A=90°-

1

2

α，則∠EAA₁=∠CAA₁-∠CAB=60°-

1

2

α，由三角形外角性質(zhì)得∠AEA₁=∠CAE+∠ACE=30°+α，然后分類討論：當(dāng)∠AEA₁=∠AA₁E時，△AA₁E是等腰三角形，此時30°+α=90°-

1

2

α；當(dāng)∠AEA₁=∠EA₁A時，△AA₁E是等腰三角形，此時30°+α=60°-

1

2

α，再分別計算出α即可；
（2）作EH⊥AC于H，A₁G⊥AE于G，如圖2，先由（1）中的結(jié)論計算出∠EAA₁=60°-

1

2

α=45°，∠AEA₁=30°+α=60°，可判斷△EAC為等腰三角形，則AH=CH=

1

2

AC=3，在Rt△AHE中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得HE=

3

3

AH=

3

，AE=2HE=2

3

；設(shè)GE=x，在Rt△A₁GE中得到A₁E=2GE=2x，A₁G=

3

GE=

3

x，在Rt△AA₁G中得到AG=A₁G=

3

x，則

3

x+x=2

3

，解得x=3-

3

，然后證明ED=EA₁即可．

解答：解：（1）如圖1，
∵CA=CB=6，∠ACB=120°，
∴∠CAB=30°，
∵△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜120°）得△A₁CB₁，
∴∠ACA₁=α，CA=CA₁，
∴∠CAA₁=∠CA₁A=

1

2

（180°-∠ACA₁）=90°-

1

2

α，
∴∠EAA₁=∠CAA₁-∠CAB=90°-

1

2

α-30°=60°-

1

2

α，
而∠AEA₁=∠CAE+∠ACE=30°+α，
當(dāng)∠AEA₁=∠AA₁E時，△AA₁E是等腰三角形，此時30°+α=90°-

1

2

α，解得α=40°；
當(dāng)∠AEA₁=∠EA₁A時，△AA₁E是等腰三角形，此時30°+α=60°-

1

2

α，解得α=20°；
即α為20度或40度時，△AA₁E是等腰三角形；
（2）作EH⊥AC于H，A₁G⊥AE于G，如圖2，
∵α=30°，即∠ACA₁=30°，
∴∠EAA₁=60°-

1

2

α=45°，∠AEA₁=30°+α=60°，
∵∠CAB=∠ACA₁=30°，
∴△EAC為等腰三角形，
∴AH=CH=

1

2

AC=3，
在Rt△AHE中，HE=

3

3

AH=

3

，AE=2HE=2

3

，
設(shè)GE=x，
在Rt△A₁GE中，∵∠GEA₁=30°+α=60°，
∴∠EA₁G=30°，
∴A₁E=2GE=2x，A₁G=

3

GE=

3

x，
在Rt△AA₁G中，∵∠GAA₁=45°，
∴AG=A₁G=

3

x，
∴

3

x+x=2

3

，解得x=3-

3

，
∴A₁E=6-2

3

，
∵∠CA₁B₁=∠CAB=30°，
而∠AEA₁=∠EA₁D+∠EDA₁=60°，
∴∠EDA₁=30°，
∴ED=EA₁=6-2

3

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．