Question

3．準備一張矩形紙片，按如圖操作：將△ABE沿BE翻折，使點A落在對角線BD上的M點，將△CDF沿DF翻折，使點C落在對角線BD上的N點，判斷下列結(jié)論正確還是錯誤，并說理由．
（1）四邊形BFDE是平行四邊形；
（2）若四邊形BFDE是菱形，則菱形BFDE的面積是矩形ABCD的面積的$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)得AB∥CD，AD∥BC，則∠ABD=∠CDB，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EBD=$\frac{1}{2}∠$ABD，∠FDB=$\frac{1}{2}∠$CDB，則∠EBD=∠FDB，所以BE∥FD，于是可判斷四邊形BFDE是平行四邊形；根據(jù)菱形的性質(zhì)得BE=DE，∠FBD=∠EBD，則可計算出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，設BE=BF=x，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到AE=$\frac{1}{2}$x，AB=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，然后計算出菱形和矩形的面積可對（2）進行判斷．

解答 解：（1）、（2）都正確．理由如下：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB，
∵△ABE沿BE翻折，使點A落在對角線BD上的M點，將△CDF沿DF翻折，使點C落在對角線BD上的N點，
∴∠EBD=$\frac{1}{2}∠$ABD，∠FDB=$\frac{1}{2}∠$CDB，
∴∠EBD=∠FDB，
∴BE∥FD，
而DE∥BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，所以（1）正確；
∵四邊形BFDE是菱形，
∴BE=DE，∠FBD=∠EBD，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
設BE=BF=x，
在Rt△ABE中，AE=$\frac{1}{2}$x，AB=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AD=AE+DE=$\frac{1}{2}$x+x=$\frac{3}{2}$x，
∴菱形BFDE的面積=AB•DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x•x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，
矩形ABCD的面積=AB•AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x•$\frac{3}{2}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²，
∴菱形BFDE的面積：矩形ABCD的面積=2：3，所以（2）正確．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．熟練掌握平行四邊形和菱形的判定與性質(zhì)．