Question

如圖，?ABCD中，E是CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE=

1

2

CD．
（1）求證：△ABF∽△CEB；       
（2）DF=3，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等可得∠A=∠C，對(duì)邊平行可得AB∥CD，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ABF=∠E，然后利用兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明．
（2）由相似三角形△EFD∽△EBC的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求BC的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠E，
在△ABF和△CEB中，∠A=∠C，∠ABF=∠E，
∴△ABF∽△CEB；

（2）解：∵DE=

1

2

CD，
∴EC=3DE．
如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∴

ED

EC

=

DF

BC

，即

1

3

=

3

BC

，
則BC=9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定，找出對(duì)應(yīng)角相等是證明的關(guān)鍵．