Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC．

（1）求直線CD的解析式；

（2）求拋物線的解析式；

（3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）。

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），

將C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：。

∴直線CD的解析式為：y=﹣x+1。

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+3，

將C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=。

∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1。

（3）證明：由題意可知，∠ECD=45°，

∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，∠ODC=45°。

∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x軸。

∴點(diǎn)C、E關(guān)于對(duì)稱軸（直線x=2）對(duì)稱，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，1）。

如答圖①所示，設(shè)對(duì)稱軸（直線x=2）與CE交于點(diǎn)F，

則F（2，1）。

∴ME=CM=QM=2。

∴△QME與△QMC均為等腰直角三角形。

∴∠QEC=∠QCE=45°。

又∵△OCD為等腰直角三角形，

∴∠ODC=∠OCD=45°。

∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°。∴△CEQ∽△CDO。

（4）存在。

如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長(zhǎng)等于線段C′C″的長(zhǎng)度。

（證明如下：不妨在線段OD上取異于點(diǎn)F的任一點(diǎn)F′，在線段QE上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P′，連接F′C″，F(xiàn)′P′，P′C′．

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△P′CF′的周長(zhǎng)=F′C″+F′P′+P′C′。

而F′C″+F′P′+P′C′是點(diǎn)C′，C″之間的折線段，

由兩點(diǎn)之間線段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周長(zhǎng)大于△PCE的周長(zhǎng)。）

如答圖③所示，連接C′E，

∵C，C′關(guān)于直線QE對(duì)稱，△QCE為等腰直角三角形，

∴△QC′E為等腰直角三角形。

∴△CEC′為等腰直角三角形。

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（4，5）。

∵C，C″關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)C″的坐標(biāo)為（﹣1，0）。

過點(diǎn)C′作C′N⊥y軸于點(diǎn)N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6，

在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：

。

綜上所述，在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，△PCF的周長(zhǎng)存在最小值，最小值為。

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出直線解析式。

（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

（3）關(guān)鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形。

（4）如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長(zhǎng)等于線段C′C″的長(zhǎng)度。

利用軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此時(shí)△PCF的周長(zhǎng)最小。

如答圖③所示，利用勾股定理求出線段C′C″的長(zhǎng)度，即△PCF周長(zhǎng)的最小值。