Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax﹣a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”．

已知拋物線與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．

（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為 ，

（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x＋（2）N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，23）或（，）（3）滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)E（1，）、F（0，）或E（1，），F（4，）．

【解析】

（1）由夢(mèng)想直線的定義可求得其解析式；

（2）當(dāng)N點(diǎn)在y軸上時(shí)，過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則可知AN＝AC，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得ON的長(zhǎng)，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)M點(diǎn)在y軸上即，M點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，過(guò)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，由條件可求得∠NMP＝60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的長(zhǎng)，則可求得N點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）當(dāng)AC為平行四邊形的一邊時(shí)，過(guò)F作對(duì)稱軸的垂線FH，過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，可證△EFH≌△ACK，可求得DF的長(zhǎng)，則可求得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，由HE的長(zhǎng)可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)E（1，t），由A、C的坐標(biāo)可表示出AC中點(diǎn)，從而可表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線，

∴其夢(mèng)想直線的解析式為y＝x＋

故答案為：y＝x＋；

（2）聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得，

解得或，

∴A（2，2），B（1，/span>0），

當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，△AMN為夢(mèng)想三角形，

如圖1，過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則AD＝2，

在中，令y＝0可求得x＝3或x＝1，

∴C（3，0），且A（2，2），

∴AC＝，

由翻折的性質(zhì)可知AN＝AC＝，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN＝＝＝3，

∵OD＝2，

∴ON＝23或ON＝2＋3，

當(dāng)ON＝2＋3時(shí)，則MN＞OD＞CM，與MN＝CM矛盾，不合題意，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，23）；

當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)，則M與O重合，過(guò)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，如圖2，

在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝2，

∴tan∠DAM＝＝3，

∴∠DAM＝60°，

∵AD∥x軸，

∴∠AMC＝∠DAO＝60°，

又由折疊可知∠NMA＝∠AMC＝60°，

∴∠NMP＝60°，且MN＝CM＝3，

∴MP＝MN＝，NP＝MNsin60°=MN＝，

∴此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

綜上可知N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，23）或（，）；

（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖2，過(guò)F作對(duì)稱軸的垂線FH，過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，

則有AC∥EF且AC＝EF，

∴∠ACK＝∠EFH，

在△ACK和△EFH中

∴△ACK≌△EFH（AAS），

∴FH＝CK＝1，HE＝AK＝2，

∵拋物線對(duì)稱軸為x＝1，

∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或2，

∵點(diǎn)F在直線AB上，

∴當(dāng)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為0時(shí)，則F（0，），此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方，

∴E到x軸的距離為EHOF＝2＝，即E點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

∴E（1，）；

當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，則F與A重合，不合題意，舍去；

②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

∵C（3，0），且A（2，2），

∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2.5，），

設(shè)E（1，t），F（x，y），

則x1＝2×（2.5），y＋t＝2，

∴x＝4，y＝2t，

代入直線AB解析式可得2t＝×（4）＋，解得t＝，

∴E（1，），F（4，）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)E（1，）、F（0，）或E（1，），F（4，）．