Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，G是DC延長線上一點，過B作BE⊥AG，垂足為E，交CD于點F．求證：CD²=DF•DG．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：先證明△ADG∽△FDB，可得

AD

DF

=

DG

DB

，可得AD•BD=DF•DG，再證明△ADC∽△CDB，可得到AD•BD=CD²，可得結(jié)論．

解答：證明：∵CD⊥AB，BE⊥AG，
∴∠GED=∠BDF，
∴∠G=∠DBF，且∠ADG=∠FDB，
∴△ADG∽△FDB，
∴

AD

DF

=

DG

DB

，即AD•BD=DF•DG，
∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=∠CAD+∠ACD，
∴∠CAD=∠DCB，
∴△ADC∽△CDB，
∴

AD

CD

=

CD

BD

，即AD•BD=CD²，
∴CD²=DF•DG．

點評：本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)，利用條件找到DF•DG與AD•BD及CD²與AD•BD的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．