Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于C，D兩點，與坐標軸交于A、B兩點，連結OC，OD（O是坐標原點）．
（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值；
（2）利用圖中條件，求出一次函數(shù)的解析式；
（3）如圖，寫出當x取何值時，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值？
（4）坐標平面內是否存在點P，使以O、D、P、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于C，D兩點，且點C（1，4），
∴k=xy=1×4=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=；
當x=4時，m=y==1，
∴m=1；

（2）∵C（1，4），D（4，1），
∴，
解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-x+5；

（3）結合圖象的可得：當0＜x＜1或x＞4是，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值；

（4）存在．
如圖，∵點C的坐標為：（1，4），點D的坐標為；（4，1），
∴直線OC的解析式為：y=4x，直線OD的解析式為：y=x，
∵使以O、D、P、C為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴直線P₁P₂的解析式為：y=-x①，直線P₁P₃的解析式為：y=4x-15②，直線P₂P₃的解析式為：y=x+③，
聯(lián)立①②得：，聯(lián)立①③得：，聯(lián)立②③得：，
∴P₁（3，-3）；P₂（-3，3）；P₃（5，5）．
分析：（1）由一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于C，D兩點，利用待定系數(shù)法即可求得此反比例函數(shù)的解析式，然后將點D（1，m）代入，即可求得m的值；
（2）由點C（1，4），D（4，1），利用待定系數(shù)法即可求得此一次函數(shù)的解析式；
（3）結合圖象即可求得當x取何值時，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值；
（4）首先可求得直線OC與OD的解析式，然后由O、D、P、C為頂點的四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質，即可求得直線P₁P₂的解析式為：y=-x①，直線P₁P₃的解析式為：y=4x-15②，直線P₂P₃的解析式為：y=x+③，然后可求得P點的坐標．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題以及平行四邊形的性質．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．