Question

5．如圖，等腰直角△ABC的直角邊AC在x軸上，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象分別與AB，BC交于點(diǎn)D、E，且AB交y軸于點(diǎn)F（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），AC=2$\sqrt{2}$，BE=2CE．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)F的坐標(biāo)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)AC求出OC，BC，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可；
（2）先確定出直線AF解析式，和反比例函數(shù)解析式聯(lián)立求出點(diǎn)D坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵等腰直角△ABC的直角邊AC在x軸上，F(xiàn)（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴OA=OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∵AC=2$\sqrt{2}$，
∴OC=AC-OA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵BC=AC，BE=2CE，
∴CE=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
∴k=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{x}$，
（2）∵A（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），F(xiàn)（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴直線AF解析式為y=x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=x+\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{34}}{4}}\\{y=\frac{\sqrt{34}+\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{34}}{4}}\\{y=-\frac{\sqrt{34}-\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$（舍），
∴D（$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{34}}{4}$，$\frac{\sqrt{34}+\sqrt{2}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是待定系數(shù)法法求反比例解析式，主要考查了待定系數(shù)法，函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，解本題的關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)解析式．