Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動．伴隨著P、Q的運(yùn)動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時停止運(yùn)動，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間是t秒（t＞0）。
【小題1】（1）(2分) 當(dāng)t = 2時，AP =     ，點(diǎn)Q到AC的距離是     ；
【小題2】（2）（2+2分）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求出S的最大值。
【小題3】（3）（4分）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
【小題4】（4）（2分）當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C 時，請求出t的值．

Answer 1

【小題1】（1）1，
【小題2】（2）作QF⊥AC于點(diǎn)F，如圖1， AQ = CP= t，∴．
由△AQF∽△ABC，，
得．∴． ∴，
即．
∵
∴當(dāng)t=時，S的最大值是
【小題3】

此時∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得，
即． 解得．
②如圖3，當(dāng)PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠APQ =90°．

由△AQP ∽△ABC，得 ，
即． 解得．
【小題4】（4）①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動，DE經(jīng)過點(diǎn)C．
方法一、由，得，進(jìn)而可得
，得，∴．∴．
方法二、連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，如圖4．
，．[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
∵DC垂直平分PQ，∴PC=QC
由，得，解得．
②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動，DE經(jīng)過點(diǎn)C，作QG⊥BC于點(diǎn)G，
如圖5．PC=2AC-t=6-t，
據(jù)上方法二，．

解析