Question

對于任意兩個二次函數(shù)：y₁=a₁x²+b₁x+c₁，y₂=a₂x²+b₂x+c₂，其中a₁•a₂≠0．當(dāng)|a₁|=|a₂|時，我們稱這兩個二次函數(shù)的圖象為全等拋物線．現(xiàn)有△ABM，A（-1，0），B（1，0）．我們記過三點的二次函數(shù)的圖象為“C_□□□”（“□□□”中填寫相應(yīng)三個點的字母）．如過點A、B、M三點的二次函數(shù)的圖象為C_ABM．

（1）如果已知M（0，1），△ABM≌△ABN．請通過計算判斷C_ABM與C_ABN是否為全等拋物線；
（2）①若已知M（0，n），在圖中的平面直角坐標(biāo)系中，以A、B、M三點為頂點，畫出平行四邊形．求拋物線C_ABM的解析式，然后請直接寫出所有過平行四邊形中三個頂點且能與C_ABM全等的拋物線解析式．
②若已知M（m，n），當(dāng)m，n滿足什么條件時，存在拋物線C_ABM？根據(jù)以上的探究結(jié)果，在圖中的平面直角坐標(biāo)系中，以A、B、M三點為頂點，畫出平行四邊形．然后請列出所有滿足過平行四邊形中三個頂點且能與C_ABM全等的拋物線C_□□□”．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線C_ABM的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線C_ABM過點A（-1，0），B（1，0），M（0，1），

解得：
∴拋物線C_ABM的解析式為y=-x²+1，從而解得．
同理可得拋物線C_ABN的解析式為y=x²+1，
∵|-1|=|1|，
∴C_ABM與C_ABN是全等拋物線．

（2）①設(shè)拋物線C_ABM的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c
∵拋物線C_ABM過點A（-1，0），B（1，0），M（0，n），

拋物線C_ABM的解析式為y=-nx²+n，
與C_ABM全等的拋物線有：
y=nx²-n，y=n（x-1）²，y=n（x+1）²
②當(dāng)n≠0且m≠±1時，存在拋物線C_ABM，與C_ABM全等的拋物線有：C_ABN，C_AME，C_BMF．
分析：（1）應(yīng)該是全等拋物線，由于這兩個拋物線雖然開口方向不同，但是開口大小一樣，因此二次項的絕對值也應(yīng)該相等．可用待定系數(shù)法求出兩拋物線的解析式，然后進(jìn)行判斷即可．
（2）①先設(shè)拋物線C_ABM的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c，把三點代入即解得；
②當(dāng)n≠0且m≠±1時，存在拋物線C_ABM，與C_ABM全等的拋物線有：C_ABN，C_AME，C_BMF．
點評：本題是函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，解題關(guān)鍵是善于利用幾何圖形的性質(zhì)以及函數(shù)的性質(zhì)和定理等知識，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（1）由于這兩個拋物線雖然開口方向不同，但是開口大小一樣，因此二次項的絕對值也應(yīng)該相等．可用待定系數(shù)法求出兩拋物線的解析式，然后進(jìn)行判斷即可．（2）與（1）相同都是通過構(gòu)建平行四邊形來得出與△ABM全等的三角形，那么過與△ABM全等的三角形的三個頂點的拋物線都是與C_ABM全等的拋物線．①設(shè)其一般解析式，把三點代入即得．②當(dāng)n≠0且m≠±1時，即求得．