Question

如圖，四邊形OABC是菱形，點(diǎn)C在x軸上，AB交y軸于點(diǎn)H，AC交y軸于點(diǎn)M．已知點(diǎn)A（-3，4）．
（1）求AO的長；
（2）求直線AC的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線A-B-C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C終止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PMB的面積為S．
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A的坐標(biāo)求出AH、OH，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出B、C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，把A（-3，4），C（5，0）代入得到方程組，求出即可；
（3）①過M作MN⊥BC于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MN，P在AB上，根據(jù)三角形面積公式求出即可；P在BC上，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比較即可得到答案．

解答：（1）解：∵A（-3，4），
∴AH=3，OH=4，
由勾股定理得：AO=

AH2+OH2

=5，
答：OA的長是5．

（2）解：∵菱形OABC，
∴OA=OC=BC=AB=5，
5-3=2，
∴B（2，4），C（5，0），
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，
把A（-3，4），C（5，0）代入得：

4=-3k+b 0=5k+b

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直線AC的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2.5
∴M（0，2.5），
答：直線AC的解析式是y=-

1

2

x+

5

2

，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，2.5）．

（3）①解：過M作MN⊥BC于N，
∵菱形OABC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵M(jìn)O⊥CO，MN⊥BC，
∴OM=MN，
當(dāng)0≤t＜2.5時(shí)，P在AB上，MH=4-2.5=

3

2

，
S=

1

2

×BP×MH=

1

2

×（5-2t）×

3

2

=-

3

2

t+

15

4

，
∴S=-

3

2

t+

15

4

，
當(dāng)t=2.5時(shí)，P與B重合，△PMB不存在；
當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，P在BC上，S=

1

2

×PB×MN=

1

2

×（2t-5）×

5

2

=

5

2

t-

25

4

，
∴S=

5

2

t-

25

4

，
答：S與t的函數(shù)關(guān)系式是S=-

3

2

t+

15

4

（0≤t＜2.5）或S=

5

2

t-

25

4

（2.5＜t≤5）．

②解：當(dāng)P在AB上時(shí)，高M(jìn)H一定，只有BP取最大值即可，即P與A重合，S最大是

1

2

×5×

3

2

=

15

4

，
同理在BC上時(shí)，P與C重合時(shí)，S最大是

1

2

×5×

5

2

=

25

4

，
∴S的最大值是

25

4

，
答：S的最大值是

25

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查對勾股定理，三角形的面積，菱形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，解二元一次方程組，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．