Question

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的中線，DE⊥AB交BC于F，交AC的延長線于E.

（1）求證：∠A=∠F；

（2）△CDE與△FDC是否相似？并給予證明．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）相似，理由見解析

【解析】

試題分析：（1）由∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，再根據DF⊥AB，得∠B+∠F=90°，則∠A=∠F；

（2）根據直角三角形的性質得，AD=CD，則∠A=∠DCE，再由外角的性質即可得出∠CED=∠FCD，則△CDE∽△FDC．

試題解析：（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，

∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°，

即∠B+∠F=90°，

∴∠A=∠F；

（2）【解析】
△CDE∽△FDC．

理由是：∵CD是斜邊AB上的中線，

∴AD=CD，

∴∠A=∠DCE，

∵∠DEC=∠A+∠ADE，∠DCF=∠DCE+∠ECF，

∴∠CED=∠FCD，

∴△CDE∽△FDC．

考點：相似三角形的判定．