Question

5．如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，PM⊥PB交AD于M．
（1）求證：$\frac{BP}{PM}$=$\frac{AD}{DC}$；
（2）若MA=MP，AB=3，BC=4，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）連接BM，先證明A、B、P、M四點(diǎn)共圓，再證明△ADC∽△BPM即可解決問題．
（2）作BN⊥AP于N，先證明BA=BP，再求出BN、PN即可解決問題．

解答 （1）證明：連接BM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=90°，
∵PM⊥PB，
∴∠BPM=90°，
∴∠BAM+∠BPM=180°，
∴A、B、P、M四點(diǎn)共圓，
∴∠MBP=∠DAC，
∵∠D=∠BPM=90°，
∴△ADC∽△BPM，
∴$\frac{AD}{PB}$=$\frac{DC}{PM}$，
∴$\frac{BP}{PM}$=$\frac{AD}{DC}$．
（2）解：作BN⊥AP于N．
在RT△BMA和RT△BMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BM}\\{AM=PM}\end{array}\right.$，
∴△BMA≌△BMP，
∴AB=PB=3，
在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$•AC•BN，
∴BN=$\frac{12}{5}$，
在RT△PBN中，PN=$\sqrt{P{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∵BA=BP，BN⊥AP，
∴AN=NP，
AP=2PN=$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)勾股定理、四點(diǎn)共圓等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．