Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過點A（4，0）、B（-1，0），與y軸交于點C，D為拋物線的頂點，過A、B、C 作⊙P．
（1）求b、c的值；
（2）求證：線段AB是⊙P的直徑；
（3）連接AC，AD，在坐標平面內(nèi)是否存在點Q，使得△CDA∽△CPQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線的系數(shù)b，c；
（2）先求出點C（0，2），再根據(jù)A（4，0）、B（-1，0），求出AC²，BC²，AB²，用勾股定理逆定理說明△ABC是直角三角形即可；
（3）先求出線段AC，AD，CD，CP，根據(jù)三角形相似得到比例式，求出CQ，再判斷出點Q在CB的延長線上，即可確定出一個點Q的坐標，再利用對稱得出另一個點Q的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過點A（4，0）、B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×16×4b+c=0}\\{-\frac{1}{2}×1-b+c×=×0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$
（2）由（1）可知拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，C（0，2），
∵A（4，0）、B（-1，0），
∴BC²=OB²+OC²=1+4=5，AC²=OA²+OC²=16+4=20，AB²=25，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴線段AB是⊙P的直徑；
（3）如圖，由（1）可知拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
∵A（4，0），C（0，2），
∴AC=2$\sqrt{5}$，AD=$\frac{5\sqrt{41}}{8}$，CD=$\frac{15}{8}$，
∵P（$\frac{3}{2}$，0），
∴CP=$\frac{5}{2}$，
∵△CDA∽△CPQ，
∴$\frac{CD}{CP}=\frac{AD}{PQ}=\frac{AC}{CQ}$
∴$\frac{\frac{15}{8}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{5\sqrt{41}}{8}}{PQ}$=$\frac{2\sqrt{5}}{CQ}$，
∴PQ=$\frac{5\sqrt{41}}{6}$，CQ=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
∵C（0，2），P（$\frac{3}{2}$，0），
∴直線CP的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+2，
∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
∴直線CD的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+2，
∴CP⊥CD于C，
由（2）知，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠PCB，
∴點Q在射線CB上，
過點C作射線CB，
∵B（-1，0），C（0，2），
∴直線BC的解析式為y=2x+2
設(shè)Q（m，2m+2）（m＜0），
∴CQ=$\sqrt{{m}^{2}+（2m+2-2）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
∴m=$\frac{8}{3}$（舍）或m=-$\frac{8}{3}$，
∴2m+2=-$\frac{10}{3}$，
∴Q（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{3}$），
過點Q作QQ'⊥CP，
∵直線CP的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+2①，
∴直線QQ'的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{4}{3}$②，
聯(lián)立①②解得，x=$\frac{8}{5}$，y=-$\frac{2}{15}$，
∴Q'（$\frac{88}{15}$，$\frac{46}{15}$）．
即：滿足條件的點Q的坐標為Q（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{3}$）或（$\frac{88}{15}$，$\frac{46}{15}$）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，直角三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，方程組的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的運用，解本題的關(guān)鍵是勾股定理逆定理的運用．