【題目】某商品的進價為每件40元,當售價為每件60元時,每星期可賣出300件,現(xiàn)需降價處理,且經(jīng)市場調(diào)查,每降價1元,每星期可多賣出20件,在確保盈利的前提下,解答下列問題:

(1)若設每件降價xx為整數(shù))元,每星期售出商品的利潤為y元,請寫出xy之間的函數(shù)關系式,并求出自變量x的取值范圍;

(2)請畫出上述函數(shù)的大致圖象.

(3)當降價多少元時,每星期的利潤最大?最大利潤是多少?

小麗解答過程如下:

解:(1)根據(jù)題意,可列出表達式:

y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x),

y=-20x2+100x+6000.

∵降價要確保盈利,∴40<60-x60.解得0x<20.

(2)上述表達式的圖象是拋物線的一部分,函數(shù)的大致圖象如圖1:

(3)∵a=-20<0,

∴當x==2.5時,y有最大值,y==6125.

所以,當降價2.5元時,每星期的利潤 最大,最大利潤為6125.

老師看了小麗的解題過程,說小馬第(1)問的表達式是正確的,但自變量x的取值范圍不準確.(2)(3)問的答案,也都存在問題.請你就老師說的問題,進行探究,寫出你認為(1)(2)(3)中正確的答案,或說明錯誤原因.

【答案】(1)自變量x的取值范圍是0x<20,且x為整數(shù);(2)(3)答案見解析

【解析】(1)自變量x的取值范圍是0x<20,且x為整數(shù).

(2)函數(shù)不能為實線,是圖象中,當x=0、1、2、3、4、5....19時,

對應的20個有限點.如圖:

(3)若x只取正整數(shù),則x就不能取2.5,結(jié)果就不是6125元,

顯然,只有當x=2或3時,

y有最大值,y最大值=6120元.

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