Question

你能比較2008²⁰⁰⁹與2009²⁰⁰⁸的大小嗎？
為了解決這個問題，我們先寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ（n是自然數(shù)）的大小．然后我們分析當n=1，n=2，n暨3，…時從中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，經(jīng)歸納、猜想得出結論：
（1）通過計算，比較下列各組中兩個數(shù)的大小，在空格中填上“＜”或“＞”或“=”．

1²______2²；2³______ 3²；3⁴______4³；4⁵______5⁴．
（2）對第（1）的結果經(jīng)過歸納、猜想得到的一般結論，請你比較2008²⁰⁰⁹與2009²⁰⁰⁸的大小關系是______．

Answer 1

解：（1）①1²＜2¹；②2³＜3²；③3⁴＞4³；④4⁵＞5⁴；

（2）當n=1或n=2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
∴2008²⁰⁰⁹＞2009²⁰⁰⁸．
故答案為：2008²⁰⁰⁹＞2009²⁰⁰⁸．
分析：（1）先通過計算比較中的數(shù)據(jù)大小即可；
（2）從（1）中通過歸納可以得出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關系是當n=1或n=2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，直接利用（1）中結論得出（2）中的答案即可．
點評：本題主要考查了學生的歸納總結的數(shù)學能力．解題關鍵是會從材料中找到數(shù)據(jù)之間的關系，并利用數(shù)據(jù)之間的規(guī)律總結出一般結論，然后利用結論直接進行解題．