Question

【題目】如圖，∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，試判斷三角形ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】三角形ABC為等邊三角形，理由詳見解析.

【解析】

△ABC為等邊三角形，將△ABC繞B點旋轉(zhuǎn)，使A點與D點重合，得△ABC′，連接CC′，則得到△ABC≌△DBC′，再由角的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△C′DC，△ABD≌△CBC′，得出∠∠ABC=60°，從而判定△ABC為等邊三角形.

解：三角形ABC為等邊三角形.

因此將△ABC繞B點旋轉(zhuǎn)，使A點與D點重合，連接CC′，則△ABC≌△DBC′，

∴BC=BC′，AC=DC′，∠BDC′=∠BAC，∠ABC=∠DBC′，

∵∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，

∴∠CDC′=∠CDA+∠BDA+∠BDC′=∠CDA+∠BDA+∠ABC=∠CDA+∠BDA+∠CAD+∠BAD=30°+15°+45°+15°=105°，

∴∠ACD=180°-∠CAD-∠CDA=180°-45°-30°=105°，

又CD=CD，

∴△ACD≌△C′DC，

∴AD=CC′，

∠CBC′=∠DBC′+∠CBD，∠ABD=∠ABC+∠CBD，

∵∠ABC=∠DBC′，

∴∠CBC′=∠ABD=180°-15°-15°=150°，

∴∠BCC′=∠BC′C=15°，

∴△ABD≌△CBC′，

∴AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC=∠BAD+∠CAD=15°+45°=60°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC為等邊三角形．