Question

如圖，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A在EB的延長(zhǎng)線上，弦PD⊥BE，垂足為C，連接OD，∠AOD=∠APC．
（1）求證：AP是⊙O的切線．
（2）若⊙O的半徑是4，AP=4

3

，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OP，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)由OD=OP得到∠OPD=∠ODP，而∠APC=∠AOD，則∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD，由于∠ODP+∠AOD=90°，易得∠APO=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到AP是⊙O的切線；
（2）在Rt△APO中，利用勾股定理計(jì)算出，AO=8，即PO=

1

2

AO，則∠A=30°，可計(jì)算出∠POA=60°，∠OPC=30°，再利用垂徑定理PC=CD，且∠POD=120°，OC=

1

2

PO=2，接著在Rt△OPC中計(jì)算出PC=2

3

，得到PD=2PC=4

3

，然后根據(jù)扇形面積公式和S_陰影=S_扇形OPBD-S_△OPD進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：（1）證明：連接OP，如圖，
∵OD=OP，
∴∠OPD=∠ODP，
∵∠APC=∠AOD，
∴∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD，
又∵PD⊥BE，
∴∠ODP+∠AOD=90°，
∴∠OPD+∠APC=90°，
即∠APO=90°，
∴OP⊥AP，
∴AP是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△APO中，
∵AP=4

3

，PO=4，
∴AO=

AP2+PO2

=8，即PO=

1

2

AO，
∴∠A=30°，
∴∠POA=60°，
∴∠OPC=30°
又∵PD⊥BE，
∴PC=CD，
∴∠POD=120°，OC=

1

2

PO=2，
在Rt△OPC中，∵OC=2，OP=4，
∴PC=

OP2-OC2

=2

3

，
∴PD=2PC=4

3

，
∴S_陰影=S_扇形OPBD-S_△OPD
=

120

360

•π•42-

1

2

×4

3

×2
=

16

3

π-4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了垂徑定理和扇形的面積公式．