Question

【題目】直線l：y=2x+2m(m>0)與x，y軸分別交于A.B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線(x>0)上一點(diǎn)，分別連接MA、MB.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)A(，0)時(shí)，恰好AB=AM，∠MAB=90°，試求M的坐標(biāo)；

(2)如圖，當(dāng)m=3時(shí)，直線l與雙曲線交于C.D兩點(diǎn)，分別連接OC、OD，試求△OCD面積；

(3)如圖，在雙曲線上是否存在點(diǎn)M，使得以AB為直角邊的△MAB與△AOB相似?如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（，）；（2）3；（3）（4，1），（2，2），（，），（，）.

【解析】

（1）把A的坐標(biāo)代入直線的解析式即可求得m的值，然后證明△OAB≌△EMA，求得ME和AE的長，則M的坐標(biāo)即可求解；
（2）解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組，即可求得C和D的坐標(biāo)，作DF⊥y軸于點(diǎn)F，CG⊥y軸，根據(jù)S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG-S△ODF求解；
（3）分類討論：以∠BAM和∠ABM為直角兩種情況．①當(dāng)∠BAM=∠BOA=90°時(shí)，作MH⊥x軸于點(diǎn)H，先求得AM的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AH和MH的長，進(jìn)而求得M的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)關(guān)系式求出m即可，②當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，同理可求出M坐標(biāo).

(1)把A(，0)代入y=2x+2m得：+2m=0，

解得：m=.

則直線的解析式是：y=2x+，

令x=0,解得y=，

則B的坐標(biāo)是(0, ).

如圖所示，作ME⊥x軸于點(diǎn)E.

∵∠BAM=90°，

∴∠BAO+∠MAE=90°，

又∵直角△AEM中,∠AME+∠MAE=90°，

∴∠BAO=∠AME.

在△OAB和△EMA中，

∴△OAB≌△EMA(AAS)，

∴ME=OA=,AE=OB=.

∴OE=OA+AE=，

則M的坐標(biāo)是(，)；

(2)當(dāng)m=3時(shí)，一次函數(shù)的解析式是y=2x+6.

解不等式組，

得或，

則D的坐標(biāo)是(1,4),C的坐標(biāo)是(2,2).

如圖，作DF⊥y軸于點(diǎn)F，CG⊥y軸,則F和G的坐標(biāo)分別是(0,4)，(0,2).

則S△OCG=S△ODF=×4=2，

S梯形CDFG=×(1+2)×(42)=3，

則S△OCD=S梯形CDFG+S△OCGS△ODF=3;

(3)如圖，作MH⊥x軸于點(diǎn)H.

則△AOB、△ABM、△AMH都是兩直角邊的比是1:2的直角三角形.

①當(dāng)∠BAM=∠BOA=90°時(shí)，OA=m，OB=2m，得：

AM=AB=m，MH=OA=；

從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2m, ).

代入雙曲線解析式為：=，

解得：m=2,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,1)；

同理當(dāng)∠BAM=∠OBA時(shí),可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，).

②當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，

則△AOB、△ABM、△BMH都是直角邊的比是1:2的直角三角形；

當(dāng)∠AMB=∠OAB時(shí)，OB=m，OA=2m，

得：AH=2OB=2m，MH=2OA=4m，

從而點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4m,4m)

代入雙曲線的解析式得：4m×4m=4，

解得：m=,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)；

同理,當(dāng)∠AMB=∠OBA時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,).

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)是：（4，1），（2，2），（，），（，）.