Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．

（1）求證：△ABM≌△DCM；

（2）填空：當(dāng)AB：AD=　　　　　　時，四邊形MENF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形．

【解析】

（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；

（2）求出四邊形MENF是平行四邊形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根據(jù)正方形的判定推出即可．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°．

∵M為AD的中點(diǎn)，∴AM=DM．

在△ABM和△DCM中，∵，∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）當(dāng)AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形．理由如下：

∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC．

∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM．

∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點(diǎn)，∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四邊形MENF是平行四邊形．

∵ME=MF，∠BMC=90°，∴四邊形MENF是正方形，即當(dāng)AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形．

故答案為：1：2．