Question

已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，點O是AB的中點，將一塊直角三角板的直角頂點與點O重合并將三角板繞點O旋轉，圖中的M、N分別為直角三角板的直角邊與邊AC、BC的交點．

（1）如圖①，當點M與點A重合時，求BN的長．
（2）當三角板旋轉到如圖②所示的位置時，即點M在AC上（不與A、C重合），
①猜想圖②中AM²、CM²、CN²、BN²之間滿足的數(shù)量關系式，并說明理由．
②若在三角板旋轉的過程中滿足CM=CN，請你直接寫出此時BN的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質,勾股定理

專題：

分析：（1）連接AN，可證明△OAN≌△OBN，可得BN=AN，根據(jù)RT△中AC²+CN²=AN²和BN+CN=BC，即可解題；
（2）①結論為AM²+BN²=CN²+CM²，延長NO到E，使EO=NO，連結AE、EM、MN，可以證明△EOA≌△NOB，可得AE=BN，再根據(jù)RT△AEM和RT△CMN中勾股定理即可驗證結論；
 ②根據(jù)CM=CN，CM+AM=AC，CN+BN=BC，將AM，BN，CN，CM的值代入上式即可求得CN的長，即可解題．

解答：解：（1）連接AN，如圖①，
∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=

102-62

=8，
在△OAN和△OBN中，

OA=OB ∠BON=∠AON ON=ON

，
∴△OAN≌△OBN（SAS），
∴NB=AN，
設BN=x，則CN=8-x，
∵AC²+CN²=AN²，
∴═

25

4

；
（2）①AM²+BN²=CN²+CM²，
證明：延長NO到E，使EO=NO，連結AE、EM、MN，
在△EOA和△NOB中，

OB=OA ∠NOB=∠EOA ON=OE

，
∴△EOA≌△NOB（SAS），
∴AE=BN，∠EAO=∠B，
∴AE∥BC，
∴∠EAC=90°
由垂直平分線性質可得：MN=EM，
∵AE²+AM²=EM²，CN²+CM²=MN²，
∴AM²+BN²=CN²+CM²．
②∵①中已經(jīng)證明：AM²+BN²=CN²+CM²，
設CM=CN=x，則BN=8-x，AM=6-x，
代入上式得：x=

25

7

，
∴BN=

31

7

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質，本題中求證AE=BN是解題的關鍵．