Question

已知拋物線y=-x²+2x+m-1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B．
（1）求m的取值范圍；
（2）如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），求此拋物線的解析式，并求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在第（2）小題的拋物線上是否存在一點(diǎn)P（與C點(diǎn)不重合）使S_△PAB=S_△CAB？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△＞0，
即b²-4ac=2²-4×（-1）×（m-1）=4+4m-4=4m＞0，
解得m＞0；

（2）∵A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴-（-1）²+2×（-1）+m-1=0，
解得m=4，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+4-1=-x²+2x+3，
即y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x²-2x+1）+3+1=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）；

（3）存在點(diǎn)P（1-2，-4）或（1+2，-4）．
理由如下：∵△PAB和△CAB都以AB為底邊，
∴只要AB邊上的高相等，則面積相等，
根據(jù)（2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4），
∴點(diǎn)C到AB的距離為4，
∴可以找到在x軸下方的點(diǎn)P，使S_△PAB=S_△CAB，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-4，
-x²+2x+3=-4，
整理得，x²-2x-7=0，
解得x===1±2，
∴存在點(diǎn)P（1-2，-4）或（1+2，-4）使S_△PAB=S_△CAB．
分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，判別式△＞0，列式求解即可；
（2）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入進(jìn)行計(jì)算求出m的值，再把m的值代入拋物線解析式整理即可得解，把解析式配方寫成頂點(diǎn)式，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)同底等高的三角形面積相等可得點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離，再根據(jù)點(diǎn)P在x軸下方，把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入拋物線解析式求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)，根的判別式的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，同底等高的三角形的面積相等的性質(zhì)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出m的值是解題的關(guān)鍵．