【題目】如圖,直線y=﹣x+1與x軸,y軸分別交于B,A兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng),以P為頂點(diǎn)作∠OPQ=45°交x軸于點(diǎn)Q.
(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)比較∠AOP與∠BPQ的大小,說明理由.
(3)是否存在點(diǎn)P,使得△OPQ是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)A(0,1),B(1,0);(2)∠AOP=∠BPQ,理由詳見解析;(3)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,1),()或(1)時(shí),△OPQ是等腰三角形.
【解析】
(1)根據(jù)直線y=﹣x+1即可求得A、B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)OA=OB,求得△AOB是等腰直角三角形,得出∠OAB=∠OBA=45°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
(3)假設(shè)存在等腰三角形,分三種情況討論:(ⅰ)OP=OQ;(ⅱ)QP=QO;(ⅲ)PO=PQ.能求出P點(diǎn)坐標(biāo),則存在點(diǎn)P,否則,不存在.
(1)∵直線y=﹣x+1與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),令x=0,則y=0+1=1,∴A(0,1),令y=0,則0=﹣x+1,解得:x=1,∴B(1,0).
(2)∠AOP=∠BPQ.理由如下:
∵A(0,1),B(1,0),∴OA=OB=1,∴∠OAB=∠OBA=45°.
∵∠OAP+∠AOP=∠OPB=∠OPQ+∠BPQ,∴45°+∠AOP=45°+∠BPQ,∴∠AOP=∠BPQ.
(3)△OPQ可以是等腰三角形.理由如下:
如圖,過P點(diǎn)PE⊥OA交OA于點(diǎn)E.分三種情況討論:
(。┤OP=OQ,則∠OPQ=∠OQP,∴∠POQ=90°,∴點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,1);
(ⅱ)若QP=QO,則∠OPQ=∠QOP=45°,所以PQ⊥QO,可設(shè)P(x,x)代入y=﹣x+1得x,∴點(diǎn)P坐標(biāo)為();
(ⅲ)若PO=PQ.
∵∠OPQ+∠1=∠2+∠3,而∠OPQ=∠3=45°,∴∠1=∠2.
又∵∠3=∠4=45°,∴△AOP≌△BPQ(AAS),PB=OA=1,∴AP1.
由勾股定理求得:PE=AE=1,∴EO,∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(1).
綜上所述:點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,1),()或(1)時(shí),△OPQ是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸的正半軸于點(diǎn)C,D為第一象限內(nèi)⊙O上的一點(diǎn),若∠DAB=20°,則∠OCD等于( )
A.20°
B.40°
C.65°
D.70°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線AB∥CD,BE平分∠ABC,交CD于D,∠CDE=150°,則∠C的度數(shù)為( )
A.150°
B.130°
C.120°
D.100°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A(a,b)、B(c,d)、C(7,0),且
(1)如果a1,d2,
①求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
②求線段AB與y軸交點(diǎn)N的坐標(biāo),并求出△AOB的面積;
(2)如果b1,且△AOB與△ABC面積和為9,求a的值或取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝店用1200元購進(jìn)一批服裝,全部售完.由于服裝暢銷,服裝店又用2800元,購進(jìn)了第二批這種服裝,所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍,但單價(jià)貴了5元,仍以同樣的價(jià)格出售.賣了部分后,為了加快資金周轉(zhuǎn),服裝店將剩余的20件以售價(jià)的八折全部出售.
問:(1)該服裝店第一次購買了此種服裝多少件?
(2)如果兩批服裝全部售完利潤率不低于16%(不考慮其它因素),那么每件服裝的標(biāo)價(jià)至少是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),正方形ABCD中的頂點(diǎn)B,D的坐標(biāo)分別是(0,0),(2,0),且A,C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,則C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是( )
A.(1,1)
B.(1,﹣1)
C.(1,﹣2)
D.(2,﹣2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,將邊AC沿CE翻折,使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處;再將邊BC沿CF翻折,使點(diǎn)B落在CD的延長線上的點(diǎn)B′處,兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),則線段B′F的長為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知下列命題:①若則②若則③對(duì)頂角相等;④等腰三角形的兩底角相等.其中原命題和逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【題目】一個(gè)正三角形和一副三角板(分別含30°和45°)擺放成如圖所示的位置,且AB∥CD.則∠1+∠2=__________.
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