【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖像與x軸交于兩點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,且A(﹣1,0)、B(4,0)

(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式
(2)如圖1,拋物線的對稱軸m與x軸交于點(diǎn)E,CD⊥m,垂足為D,點(diǎn)F(﹣ ,0),動點(diǎn)N在線段DE上運(yùn)動,連接CF、CN、FN,若以點(diǎn)C、D、N為頂點(diǎn)的三角形與△FEN相似,求點(diǎn)N的坐標(biāo)
(3)如圖2,點(diǎn)M在拋物線上,且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1,點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn),若∠PMA=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:當(dāng)x=0時,y=4,

∴C(0,4).

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣4),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得:﹣4a=4,解得a=﹣1,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4


(2)

解:x=﹣ =

∴CD= ,EF=

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為( ,a)則ND=4﹣a,NE=a.

當(dāng)△CDN∽△FEN時, ,即 ,解得a= ,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為( , ).

當(dāng)△CDN∽△NEF時, ,即 = ,解得:a=2.

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為( ,2).

綜上所述,點(diǎn)N的坐標(biāo)為( , )或( ,2)


(3)

解:如圖所示:過點(diǎn)A作AD∥y軸,過點(diǎn)M作DM∥x軸,交點(diǎn)為D,過點(diǎn)A作AE⊥AM,取AE=AM,作EF⊥x軸,垂足為F,連結(jié)EM交拋物線與點(diǎn)P.

∵AM=AE,∠MAE=90°,

∴∠AMP=45°.

將x=1代入拋物線的解析式得:y=6,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,6).

∴MD=2,AD=6.

∵∠DAM+∠MAF=90°,∠MAF+∠FAE=90°,

∴∠DAM=∠FAE.

在△ADM和△AFE中, ,

∴△ADM≌△AFE.

∴EF=DM=2,AF=AD=6.

∴E(5,﹣2).

設(shè)EM的解析式為y=kx+b.

將點(diǎn)M和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得: ,解得k=﹣2,b=8,

∴直線EM的解析式為y=﹣2x+8.

將y=﹣2x+8與y=﹣x2+3x+4聯(lián)立,解得:x=1或x=4.

將x=4代入y=﹣2x+8得:y=0.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0)


【解析】(1)先求得點(diǎn)C的坐標(biāo),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣4),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得a的值,從而得到拋物線的解析式;(2)先求得拋物線的對稱軸,然后求得CD,EF的長,設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,a)則ND=4﹣a,NE=a,然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于a的方程,然后可求得a的值;(3)過點(diǎn)A作AD∥y軸,過點(diǎn)M作DM∥x軸,交點(diǎn)為D,過點(diǎn)A作AE⊥AM,取AE=AM,作EF⊥x軸,垂足為F,連結(jié)EM交拋物線與點(diǎn)P.則△AME為等腰直角三角形,然后再求得點(diǎn)M的坐標(biāo),從而可得到MD=2,AD=6,然后證明∴△ADM≌△AFE,于是可得到點(diǎn)E的坐標(biāo),然后求得EM的解析式為y=﹣2x+8,最后求得直線EM與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

練習(xí)冊系列答案
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操作二:

(2)折疊紙面,使數(shù)5表示的點(diǎn)與數(shù)﹣1表示的點(diǎn)重合,回答下列問題:

數(shù)6表示的點(diǎn)與數(shù) 表示的點(diǎn)重合;

若這樣折疊后,數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)也重合,且A、B兩點(diǎn)之間的距離為11(A在B的左側(cè)),則A點(diǎn)表示的數(shù)為 ,B點(diǎn)表示的數(shù)為

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填表:

平均數(shù)(分)

中位數(shù)(分)

眾數(shù)(分)

初中代表隊

高中代表隊

結(jié)合兩隊決賽成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個代表隊的成績較好;

計算兩隊決賽成績的方差,并判斷哪個代表隊的成績較為穩(wěn)定.

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