Question

如圖直線l與x軸、y軸分別交于點B、A兩點，且A、B兩點的坐標分別為A（0，3），B（-4，0）．
（1）請求出直線l的函數(shù)解析式；
（2）點P在x軸上，且ABP是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；
（3）點C為直線AB上一個動點，是否存在使點C到x軸的距離為1.5？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)y=kx+b（k≠0），
由題意，得得
∴y=0.75x+3．

（2）設(shè)P（x，0）．
∵△ABP是等腰三角形，
∴①當|PA|=|PB|時，
=，
解得x=-，
∴P（-，0）；
②當|AB|=|AP|時，
=，
解得x=±4，
∵P點與B點不重合，
∴P（4，0）；
③當|AB|=|BP|時，
=，
解得，
x=-9或x=1，
∴P（-9，0）或（1，0）；
∴所有符合條件的點P的坐標是P₁（-，0），P₂（4，0），P₃（-9，0），P₄（1，0）．

（3）假設(shè)存在點C（x，±1.5）到x軸的距離為1.5，則點C（x，±1.5）滿足方程y=0.75x+3，
①當C（x，1.5）時，
1.5=0.75x+3，解得x=-2，
∴點C（-2，1.5）存在；
②當C（x，-1.5）時，
-1.5=0.75x+3，解得x=-6，
所以C（-6，-1.5）存在．
∴存在點C（x，±1.5）到x軸的距離為1.5，其坐標是（-2，1.5）或（-6，-1.5）．
分析：（1）設(shè)直線l的函數(shù)解析式是y=kx+b（k≠0），把滿足條件的點的坐標代入，求出k、b即可；
（2）設(shè)P（x，0），則根據(jù)兩點間的距離公式列方程，把A（0，3），B（-4，0）代入求值；
（3）假設(shè)存在使點C（x，1.5）到x軸的距離為1.5的點C存在，把該點代入（1）的函數(shù)解析式若適合，則存在；反之，不存在．
點評：（1）用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）分類討論：|PA|=|PB|；|AB|=|AP|；|AB|=|BP|，不要漏解；
（3）正確理解直線上的點與直線方程是一一對應關(guān)系．