Question

如圖1，已知：拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，經過B、C兩點的直線是y=

1

2

x-2，連接AC．
（1）B、C兩點坐標分別為B

（4，0）

、C

（0，-2）

，拋物線的函數關系式為

y=

1

2

x²-

3

2

x-2

；
（2）求證：△AOC∽△COB；
（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC的周長最小？若存在，請求出來，若不存在，請說明理由．
（4）在該拋物線上是否存在點Q，使得S_△ABC=S_△ABQ？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直線的解析式中，令y=0，解得橫坐標，即可求得B的坐標，令x=0，解得y的值，則可以求得C的坐標，把B、C的坐標代入解析式，利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（2）首先求得A的坐標，則OA、OB、OC的長度即可求得，然后根據兩組對應邊的比相等，且夾角對應相等的三角形相似即可證得；
（3）A關于對稱軸的對稱點是B，則BC與對稱軸的交點就是所求的點；
（4）首先求得△ABC的面積，然后根據三角形的面積公式即可求得Q的縱坐標，然后代入二次函數的解析式即可求得Q的坐標．

解答：解：（1）在y=

1

2

x-2中，令y=0，則

1

2

x-2=0，解得x=4，則B的坐標是（4，0）．
令x=0，則y=-2，因而C的坐標是（0，-2）．
把B、C的坐標代入二次函數的解析式得：

c=-2 8+4b-2=0

，解得：

b=- 3 2 c=-2

，
則函數的解析式是：y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）在y=

1

2

x²-

3

2

x-2中，令y=0，則

1

2

x²-

3

2

x-2=0，解得：x=-1或4，則A的坐標是（-1，0）．
因而OA=1，OB=4，OC=2．
則

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠COB，
∴△AOC∽△COB；

（3）A關于對稱軸的對稱點是B，
則連接BC，與對稱軸的交點就是所求的點P．
拋物線的對稱軸是：x=-

- 3 2

2× 1 2

=

3

2

，
把x=

3

2

代入y=

1

2

x-2得：y=

3

4

-2=-

5

4

，
則P的坐標是：（

3

2

，-

5

4

）；

（4）∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×5×2=5，
S_△ABC=S_△ABQ=5，
∴設Q的縱坐標是m，則

1

2

AB•|m|=5，即

1

2

×5|m|=5，
解得：m=±2，
當m=2時，

1

2

x²-

3

2

x-2=2，解得：x=

3± 41

2

，
當m=-2時，

1

2

x²-

3

2

x-2=-2，解得：x₁=0，x₂=3．
則Q的坐標是：（

3+ 41

2

，2）或（

3- 41

2

，2）或（0，-2）或（3，-2）．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數法求拋物線解析式和三角形的面積求法．主要考查學生數形結合的數學思想方法．