Question

19．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=120°，點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，以AB，BD為邊，AD為對(duì)角線作?ABDE，連結(jié)BE交AD于點(diǎn)O，且OF=BC=1，則AB的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

Answer 1

分析 連接AC，由三角形的中位線定理證得AC=2OF=2，作CG⊥AB于G，由∠ABC=120°，求得∠CBG=60°，∠BCG=30°，進(jìn)而求得BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由勾股定理求得AG，根據(jù)線段的和差求得結(jié)論．

解答 解：連接AC，則OF是△ACD的中位線，
∴AC=2OF=2，作CG⊥AB于G，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBG=60°，∠BCG=30°，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴AB=AG-BG=$\frac{\sqrt{13}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是平行四邊形的性質(zhì)，主要考查了三角形的中位線定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．