Question

如圖，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象寫出y₁＜y₂時，x的取值范圍．
（4）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△AOP為等腰三角形．若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵B（2，-4）在y₂=上，
∴m=-8．
∴反比例函數(shù)的解析式為y₂=-．
∵點(diǎn)A（-4，n）在y₂=-上，
∴n=2．
∴A（-4，2）．
∵y₁=kx+b經(jīng)過A（-4，2），B（2，-4），
∴．
解之得
．
∴一次函數(shù)的解析式為y₁=-x-2．

（2）∵C是直線AB與x軸的交點(diǎn)，
∴當(dāng)y=0時，x=-2．
∴點(diǎn)C（-2，0）．
∴OC=2．
∴S_△AOB=S_△ACO+S_△BCO=×2×2+×2×4=6．

（3）由圖象可以看出，x＞2或-4＜x＜0時，y₁＜y₂．
（4）P點(diǎn)的坐標(biāo)有P₁（-，0），P₂（0，5），P₃（-8，0），P₄（0，4），P₅（0，），P₆（，0），P₇（，0），P₈（0，-）．
分析：（1）把A（-4，n），B（2，-4）分別代入一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=，運(yùn)用待定系數(shù)法分別求其解析式；
（2）把三角形AOB的面積看成是三角形AOC和三角形OCB的面積之和進(jìn)行計(jì)算；
（3）看在交點(diǎn)的哪側(cè)，對于相同的自變量，一次函數(shù)大于或等于反比例函數(shù)的函數(shù)值．
（4）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P的位置，從而確定P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的比例系數(shù)k，求出函數(shù)解析式；要能夠熟練借助直線和y軸的交點(diǎn)運(yùn)用分割法求得不規(guī)則圖形的面積．同時間接考查函數(shù)的增減性，從而來解不等式．