Question

【題目】如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，3），與x軸交于點(diǎn) A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）M（m，0）為軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．

①點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng)，若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M在軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn)M、P、N中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），則稱M，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出使得M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的 m的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）M（1，0），（2，0）；（3）m＝1，－2， ．

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得，可求得拋物線解析式；
（2）①由點(diǎn)坐標(biāo)可表示的坐標(biāo)，從而可表示出的長(zhǎng)，分和兩種情況，分別利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于的方程，可求得的值；
②用可表示出的坐標(biāo)，由題意可知有為線段的中點(diǎn)、為線段的中點(diǎn)或為線段的中點(diǎn)，可分別得到關(guān)于的方程，可求得的值．

試題解析：
(1) 把點(diǎn)代入拋物線

∴3=0+c，解得c=3，

∴拋物線解析式為

(2) ∵與x軸交于點(diǎn)A(3,0)，可知直線解析式為y=-x+3，

∵M(m,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，

或

當(dāng)時(shí)，則有BN⊥MN，

∴BN=OM=m，

即解得m=0(舍去)或m=2，

當(dāng)時(shí),則有

∴

解得m=0(舍去)或m=1，

綜上可知當(dāng)以B,P,N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)或(1,0)；

②由①可知

∵M，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，

∴有P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM的中點(diǎn)，

當(dāng)P為線段MN的中點(diǎn)時(shí),則有, 解得m=3(三點(diǎn)重合,舍去)或m=1；

當(dāng)M為線段PN的中點(diǎn)時(shí),則有解得m=3(舍去)或m=2；

當(dāng)N為線段PM的中點(diǎn)時(shí),則有解得m=3(舍去)或

綜上可知當(dāng)M,P,N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值為1或2或