Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)P為∠AOB的角平分線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D在邊OA上.在邊OB上取一點(diǎn)E，使得PE=PD.

（1）用圓規(guī)作出所有符合條件的點(diǎn)E；

（2）寫出∠OEP與∠ODP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°.

【解析】

（1）以P為圓心，PD的長為半徑畫弧交OB于點(diǎn)E1，E2，則E1，E2即為所求；

（2）過點(diǎn)P作PM⊥OD，PN⊥OB，利用HL可證Rt△PNE2≌Rt PMD，得到∠OE2P與∠ODP；由PE1=PE2，可得∠OE2P＝∠E2E1P＝∠ODP，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠OE1P+∠ODP＝180°.

解：（1）如圖所示，E1，E2即為所求：

（2）∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°，

理由是：過點(diǎn)P作PM⊥OD，PN⊥OB，

∵OP是∠AOB的角平分線，

∴PM＝PN，

又∵PE2＝PD，∠PNE2＝∠PMD，

∴Rt△PNE2≌Rt PMD（HL），

∴∠OE2P=∠ODP，

∵PE1=PE2，

∴∠OE2P＝∠E2E1P，

∴∠E2E1P＝∠ODP，

∵∠OE1P+∠E2E1P＝180°，

∴∠OE1P+∠ODP＝180°，

∴∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°.