Question

矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3，AD=2，將此矩形放在平面直角坐標(biāo)系中，使AB在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，另兩個(gè)頂點(diǎn)都在第一象限，且直線經(jīng)過這兩個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)．
（1）求A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）以AB為直徑作⊙M，記過A、B兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為P．
①若P點(diǎn)在⊙M和矩形內(nèi)，求a的取值范圍；
②過點(diǎn)C作CF切⊙M于E，交AD于F，當(dāng)PF∥AB時(shí)，求拋物線的函數(shù)解析式．

Answer 1

解：（1）首先畫圖．設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x，0）

又∵AB=3，AD=2且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．AB在x軸的正半軸上．
又∵ABCD為矩形，則點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)分別為（x+3，0），（x+3，2），（x，2）
∴直線，經(jīng)過這兩個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)．
當(dāng)其經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，
∴x=-1
又∵點(diǎn)A在x軸正半軸上
∴x＞0
∴x=-1舍去
當(dāng)其經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，
∴x=2，符合題意．
∴A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0）、（5，0）、（5，2）、（2，2）

（2）①∵此拋物線過點(diǎn)A．B
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-5）=ax²-7ax+10a（a≠0）
∴其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為
而⊙M的圓心M的坐標(biāo)為，半徑為
∴若P點(diǎn)在⊙M和矩形內(nèi)，則，
∴．
②設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，y），則FA=y
∵CF切⊙M于E，CB、FA均為⊙M的切線，
根據(jù)切線長(zhǎng)定理有CE=BC=2，EF=AF=-a，
設(shè)直線PF與BC相交于G，在直角三角形CFG中，
CF²=FG²+CG²，CG=BC-AF=2+a，CF=BC+EF=2-a；
∴（2-a）²=（2+a）²+9
解得a=-
∴拋物線的解析式為y=-（x-2）（x-5）=-x²+x-5．
分析：（1）本題可先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)AB，AD的長(zhǎng)，表示出矩形另外三點(diǎn)的坐標(biāo)；已知了直線過矩形中C、D兩點(diǎn)中的其中一個(gè)，因此要分類進(jìn)行求解．分別計(jì)算出直線過C點(diǎn)和過D點(diǎn)時(shí)得出的A的橫坐標(biāo)的值，然后可根據(jù)A點(diǎn)在x軸的正半軸或D，C在第一象限將不合題意的值舍去即可得出A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）①本題可根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)用交點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)出拋物線的解析式，然后用a表示出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可依據(jù)“P點(diǎn)在⊙M和矩形內(nèi)”和圓的半徑的長(zhǎng)求出a的取值范圍．
②根據(jù)切線長(zhǎng)定理不難得出FE=AF，CE=CB，如果PF∥AB，設(shè)PF與BC交于G點(diǎn)，那么可用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示出EF，AF的長(zhǎng)，進(jìn)而可表示出CF，CG的長(zhǎng)，那么可在直角三角形CFG中用勾股定理求出a的值，也就能得出拋物線的解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、切線長(zhǎng)定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．