Question

【題目】如圖①ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O且與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．

（1）求證：OE=OF

（2）如圖②，已知AD=1，BD=2，AC=2，∠DOF=∠α，

①當(dāng)∠α為多少度時(shí)，EF⊥AC？

②連結(jié)AF，求△ADF的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①當(dāng)為時(shí)，；②的周長(zhǎng)為．

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證；

（2）①利用勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，則，若，根據(jù)角互余的定義即可得出答案；

②由①的結(jié)論、平行四邊形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC，從而根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，由此即可得出的周長(zhǎng)．

（1）∵四邊形ABCD 是平行四邊形

∴

∴

在和中，

∴

∴；

（2）①∵四邊形ABCD 是平行四邊形，

∴

又

∴

是等腰直角三角形

若，則

∴

故當(dāng)為時(shí)，；

②∵四邊形ABCD 是平行四邊形

又∵

∴EF垂直平分AC

∴

由①知，，即

則的周長(zhǎng)為

故的周長(zhǎng)為．