Question

20．已知：如圖，在□ABCD中，E為邊CD的中點，聯(lián)結(jié)AE并延長，交邊BC的延長線于點F．
（1）求證：四邊形ACFD是平行四邊形；
（2）如果∠B+∠AFB=90°，求證：四邊形ACFD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證出∠ADC=∠FCD，然后再證明△ADE≌△FCE可得AD=FC，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；
（2）根據(jù)∠B+∠AFB=90°可得∠BAF=90°，根據(jù)平行四邊形對邊平行可得AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得∠CEF=∠BAF=90°，再根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得結(jié)論．

解答 證明：（1）在□ABCD中，AD∥BF．
∴∠ADC=∠FCD．
∵E為CD的中點，
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}∠AED=∠FEC\\∠ADE=∠FCE\\ DE=CE\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD=FC．
又∵AD∥FC，
∴四邊形ACFD是平行四邊形．

（2）在△ABF中，
∵∠B+∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠CEF=∠BAF=90°，
∵四邊形ACDF是平行四邊形，
∴四邊形ACDF是菱形．

點評 此題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形兩組對邊分別平行，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．