Question

【題目】已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2，若以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處．

（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，C，A三點(diǎn)的拋物線的解析式．

（2）若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，且位于線段OC的上方，連接MO、MC，問(wèn)：點(diǎn)M位于何處時(shí)三角形MOC的面積最大？并求出三角形MOC的最大面積．

（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠OAP=∠BOC？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x；（2）,；（3）存在，P(，)或(﹣，﹣)

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于D，求出OD、CD，然后寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）求出直線OC的解析式，根據(jù)點(diǎn)M到OC的最大距離時(shí)，面積最大；平行于OC的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，利用根的判別式求出m的值，利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可；
（3）分兩種情況求出直線AP與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出直線AP的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）∵Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處，

∴OC=OA=2，∠BOC=∠BAO=30°，

∴∠AOC=30°+30°=60°，

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于D，

則OD=×2=，

CD=2×=3，

所以，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，3），

設(shè)過(guò)點(diǎn)O，C，A拋物線的解析式為為y=ax2+bx，

則，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x；

（2）∵C（，3），

∴直線OC的解析式為：，

設(shè)點(diǎn)M到OC的最大距離時(shí)，平行于OC的直線解析式為，
聯(lián)立，
消掉未知數(shù)y并整理得，，
△=（）2-4m=0，
解得：m=．

∴，

∴；
∴點(diǎn)M到OC的最大距離=×sin30°=；

∵，

∴；

此時(shí)，M，最大面積為；

（3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°，

∴，

∴直線AP與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（0，﹣2），

當(dāng)直線AP經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，0）、（0，2）時(shí)，解析式為，

聯(lián)立，

解得，．

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

當(dāng)直線AP經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，0）、（0，﹣2）時(shí)，解析式為，

聯(lián)立

解得，；

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

綜上所述，存在一點(diǎn)P（，）或（﹣，﹣），使∠OAP=∠BOA．