Question

8．如圖，拋物線y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，記點(diǎn)M到線段BC的距離為d，當(dāng)d取最大值時，求出此時M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是直線y=-x上的動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、E，使以點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）令拋物線解析式中y=0得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x值，由此即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出AC、AB、BC，利用勾股定理得逆定理即可得出△ABC為直角三角形，由此即可得出△ABC的外接圓的圓心位置，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可求出圓心坐標(biāo)；
（3）將直線AB往下平移得到直線l，直線l與拋物線只有一個交點(diǎn)M時，此時點(diǎn)M到直線AB的距離最遠(yuǎn)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)出直線l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m，將其代入拋物線解析式中令△=0，即可求出m值，再聯(lián)立直線l和拋物線解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，-n）．以點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)E為頂點(diǎn)的平行四邊形分兩種情況：①以AB為邊，根據(jù)A、B、E點(diǎn)的坐標(biāo)表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線線解析式中即可求出n值，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②以AB為對角線，根據(jù)A、B、E點(diǎn)的坐標(biāo)表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線線解析式中即可求出n值，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將B（4，0）、C（0，-2）代入y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=16a-\frac{3}{2}×4+c}\\{-2=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
（2）令y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2中x=0，即$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，
解得：x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0）．
∵B（4，0），C（0，-2），
∴AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，AB=5，
∵AC²+BC²=5+20=25=AB²，
∴△ABC為直角三角形．
∴AB為△ABC外接圓的直徑，
∴該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）．
（3）將直線AB往下平移得到直線l，直線l與拋物線只有一個交點(diǎn)M時，此時點(diǎn)M到直線AB的距離最遠(yuǎn)，如圖1所示．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，直線l的解析式為y=kx+m，
將點(diǎn)B（4，0）、C（0，-2）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2．
將y=$\frac{1}{2}$x+m代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2中，得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$x+m，即$\frac{1}{2}$x²-2x-2-m=0．
∵直線l與拋物線只有一個交點(diǎn)，
∴△=（-2）²-4×$\frac{1}{2}$×（-2-m）=8+2m=0，解得：m=-4，
∴直線l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-4．
聯(lián)立直線l與拋物線解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\\{y=\frac{1}{2}x-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴M（2，-3）．
故：記點(diǎn)M到線段BC的距離為d，當(dāng)d取最大值時，求出此時M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3）．
（4）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，-n）．
以點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)E為頂點(diǎn)的平行四邊形分兩種情況（如圖2）：
①以線段AB為邊，點(diǎn)E在點(diǎn)P的左邊時，
∵A（-1，0），B（4，0），E（n，-n），
∴P（5+n，-n），
∵點(diǎn)P（5+n，-n）在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2上，
∴-n=$\frac{1}{2}（5+n）^{2}$-$\frac{3}{2}$（5+n）-2，解得：n₁=$\frac{-9-\sqrt{57}}{2}$，n₂=$\frac{-9+\sqrt{57}}{2}$，
此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{-9-\sqrt{57}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{57}}{2}$）或（$\frac{-9+\sqrt{57}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{57}}{2}$）；
以線段AB為邊，點(diǎn)E在點(diǎn)P的右邊時，
∵A（-1，0），B（4，0），E（n，-n），
∴P（n-5，-n），
∵點(diǎn)P（n-5，-n）在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2上，
∴-n=$\frac{1}{2}（n-5）^{2}$-$\frac{3}{2}$（n-5）-2，即n²-11n+36=0，
此時△=（-11）²-4×36=-23＜0，方程無解；
②以線段AB為對角線時，
∵A（-1，0），B（4，0），E（n，-n），
∴P（3-n，n），
∵點(diǎn)P（3-n，n）在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2上，
∴n=$\frac{1}{2}（3-n）^{2}$-$\frac{3}{2}$（3-n）-2，解得：n₃=$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，n₄=$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，
此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-5-\sqrt{41}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-5+\sqrt{41}}{2}$）．
綜上可知：存在點(diǎn)P、E，使以點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)E坐標(biāo)為（$\frac{-9-\sqrt{57}}{2}$，$\frac{9+\sqrt{57}}{2}$）、（$\frac{-9+\sqrt{57}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{57}}{2}$）、（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-5-\sqrt{41}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-5+\sqrt{41}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、直角三角形的判定、根的判別式以及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）證出△ABC為直角三角形；（3）找出點(diǎn)M的位置；（4）分AB為邊和AB為對角線兩種情況考慮．本題屬于中檔題，（4）有點(diǎn)難度，解決該小問時，分AB為邊和AB為對角線兩種情況考慮，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合三個頂點(diǎn)坐標(biāo)找出另一頂點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．