Question

如圖，已知矩形ABCD中AB：BC=3：1，點A、B在x軸上，直線y=mx+n（m＜n＜且n≠0），過點A、C交y軸于點E，S_△AOE=S_矩形ABCD，拋物線y=ax²+bx+c過點A、B，且頂點G在直線y=mx+n上，拋物線與y軸交于點F．
（1）求點A、B的坐標(biāo)（用n表示）；
（2）求代數(shù)式abc的值；
（3）求S_△AGF的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線AE的解析式可得到點E的坐標(biāo)，已知AB=3BC，即AO=3OE，由此可求得點A的坐標(biāo)；易求得△AOE的面積，即可得到矩形ABCD的面積，由于AB=3BC，可用AB表示出矩形ABCD的面積，進(jìn)而可得到AB的值（含n的表達(dá)式），由此可確定點B的坐標(biāo)．
（2）由于點G是拋物線的頂點，即在拋物線的對稱軸上，根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可求得點G的橫坐標(biāo)，而G點在直線AE上，那么G點的縱坐標(biāo)應(yīng)該是AB的（由于AB=3BC=6y_G），由此可確定點G的坐標(biāo)；可將拋物線設(shè)為頂點坐標(biāo)式，將A或B的坐標(biāo)代入其中，即可求出含n的拋物線解析式，進(jìn)而可求出abc的值．
（3）△AGF的面積無法直接求出，分析圖形后可知△AGF的面積為△AEF、△EGF的面積差，這兩個三角形的頂點的坐標(biāo)都已求出，即可得到△AGF的面積表達(dá)式（含n的式子），根據(jù)已知的n的取值范圍，即可求得△AGF的面積范圍．
解答：解：（1）直線AE中，y=mx+n，則E（0，n）；
∵AB=3BC，則tan∠CAB=，
∴OA=3OE=3n，即A（-3n，0）；
△AOE中，AO=3n，OE=n，則S_△AOE=OA•OE=；
矩形ABCD中，AB=3BC，則S_矩形ABCD=AB•BC=AB²；
∵S_△AOE=S_矩形ABCD，
∴n²=×AB²，即AB=2n，
故OB=OA-AB=n，即B（-n，0）；
∴A（-3n，0），B（-n，0）．

（2）∵G是拋物線的頂點，且A（-3n，0），B（-n，0），
∴G點的橫坐標(biāo)為-2n；
易知G是線段AC的中點，故AB=3BC=6y_G，
∴G點的縱坐標(biāo)為n；
即G（-2n，n）；
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2n）²+n，將A（-3n，0）代入上式，得：
a×n²+n=0，即a=-；
∴y=-（x+2n）²+n=-x²-x-n；
故abc=（-）×（-）×（-n）=-．

（3）根據(jù)（2）得到的拋物線解析式，易知F（0，-n）；
∵E（0，n），A（-3n，0），G（-2n，n），n≠0，
∴S_△AEF=EF•OA=3n²，S_△EGF=EF•|x_G|=2n²，
∴S_△AGF=S_△AEF-S_△EGF=3n²-2n²=n²，
故S_△AGF的范圍為：＜S_△AGF＜．
點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的求法、函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等重要知識，由于本題中大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是字母，乍看之下無從下手，但是只要將字母當(dāng)做已知數(shù)來對待，即可按照常規(guī)思路解決問題．