【題目】在圖1﹣﹣圖4中,菱形ABCD的邊長為3,A=60°,點M是AD邊上一點,且DM=AD,點N是折線AB﹣BC上的一個動點.

(1)如圖1,當N在BC邊上,且MN過對角線AC與BD的交點時,則線段AN的長度為

(2)當點N在AB邊上時,將AMN沿MN翻折得到A′MN,如圖2,

①若點A′落在AB邊上,則線段AN的長度為 ;

②當點A′落在對角線AC上時,如圖3,求證:四邊形AM A′N是菱形;

③當點A′落在對角線BD上時,如圖4,求的值.

【答案】(1);(2)①1;②見解析;=

【解析】

試題分析:(1)過點N作NGAB于G,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理解決問題;

(2)①利用線段中垂線的性質(zhì)得到AN=A′N,再由三角函數(shù)求得;

②利用菱形的性質(zhì)得到對角線平分每一組對角,得到DAC=CAB=30°,根據(jù)翻折的性質(zhì)得到ACMN,AM=A′M,AN=A′N,AMN=ANM=60°,AM=AN,AM=A′M=AN=A′N,四邊形AM A′N是菱形;

③根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=AD,ADB=ABD=60°,求得NA′M=DMA′+ADB,證得A′M=AM=2,NA′M=A=60°,得到NA′B=DMA′,利用三角形相似得到結(jié)果.

解:(1)如圖1,過點N作NGAB于G,

四邊形ABCD是菱形,

ADBC,OD=OB,

==1,

BN=DM=AD=1,

∵∠DAB=60°,

∴∠NBG=60°

BG=,GN=,

AN===;

故答案為:;

(2)①當點A′落在AB邊上,則MN為AA′的中垂線,

∵∠DAB=60°AM=2

AN=AM=1,

故答案為:1;

②在菱形ABCD中,AC平分DAB,

∵∠DAB=60°

∴∠DAC=CAB=30°,

∵△AMN沿MN翻折得到A′MN

ACMN,AM=A′M,AN=A′N,

∴∠AMN=ANM=60°

AM=AN,

AM=A′M=AN=A′N,

四邊形AM A′N是菱形;

③在菱形ABCD中,AB=AD,

∴∠ADB=ABD=60°,

∴∠BA′M=DMA′+ADB

A′M=AM=2,NA′M=A=60°,

∴∠NA′B=DMA′

∴△DMA′∽△BA′N,

=,

MD=AD=1,A′M=2,

=

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